фметичним відповідних координат вершин трикутника. З цих тверджень можна отримати доказ теореми про медіану. p>
3. Застосування медиан в математичній статистиці Медіани бувають не тільки в геометрії, а й в математичній статистиці. Нехай потрібно знайти середнє значення деякого набору чисел,, ..., а п . Можна, звичайно, за середнє прийняти середнє арифметичне
В
Але іноді це незручно. Припустимо, що потрібно визначити середній зріст другокласників Москви. Опитаємо навмання 100 школярів і запишемо їх зростання. Якщо один з хлопців жартома скаже, що його зріст дорівнює кілометру, то середнє арифметичне записаних чисел виявиться занадто великим. Набагато краще в якості середнього взяти медіану чисел , ..., а п .
Припустимо, що чисел - непарна кількість, і розставимо їх у неубутною порядку. Число, опинилося на середньому місці, називається медіаною набору. Наприклад, медіана набору чисел 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 дорівнює 2 (а середнє арифметичне значно більше - воно дорівнює 6).
4. Медіани тетраедра
Виявляється, можна говорити про медіану не тільки для трикутника, але і для тетраедра. Відрізок, що сполучає вершину тетраедра з центроїдом (точкою перетину медіан) противолежащей грані, називається медіаною тетраедра . Як і медіани трикутника, медіани тетраедра перетинаються в одній точці, центрі мас або центроїди тетраедра, але ставлення, в якому вони діляться в цій точці, інше - 3:1, рахуючи від вершин. Ця ж точка лежить і на всіх відрізках, з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, його бімедіанах , і ділить їх навпіл. Це можна довести, наприклад, з механічних міркувань, помістивши в кожну з чотирьох вершин тетраедра важки одиничної маси.
5. Шість доказів теореми про медіану
Давно відмічено, що познайомитися з різними рішеннями однієї задачі буває корисніше, ніж з однотипними рішеннями різних завдань. Однією з теорем, що допускають, як і багато інших класичні теореми елементарної геометрії, кілька повчальних доказів, є
Теорема про медіану трикутника. Медіани, В і З трикутника ABC перетинаються в деякій точці М, причому кожна з них ділиться цією точкою щодо 2:1, рахуючи від вершини: AM : M = BM : M = CM : M = 2. (1)
У всіх наводяться далі доказах, крім шостого, ми встановлюємо тільки, що медіана У проходить через точку М, яка ділить медіану А щодо 2:1. Якщо у відповідному міркуванні замінити відрізок В на відрізок С, то ми отримаємо, що і З проходить через М. Цим буде доведено, що всі три медіани перетинаються в деякій точці М, причому АМ: М - 2. Оскільки всі медіани рівноправні, можна замінити А на В або СС 1 звідси випливає (1).
Перше доказ (8 клас).
Нехай До - середина відрізка AM , В ' - точка перетину прямої ВМ зі стороною АС. Нам достатньо довести, що АВ '= В'С. Через точки К і паралельно прямий ВМ проведемо відрізки KL і N (рис. 1). Оскільки АК - КМ = М і С = В, по теоремі Фалеса отримуємо
AL = LB '= B ' N =; NC .
АВ '= В'С.
Друге доказ (8 клас).
Розглянемо гомотетии з центром М і коефіцієнтом -1/2. Точка А переходить при цій гомотетии в . Нехай В переходить в В ' (рис. 2). Тоді = - АВ. З іншого боку, середня лінія виходить з боку ВА при гомотетии з центром З і коефіцієнтом 1/2; таким чином:
=
Отже, , отже, В '=. Таким чином, трикутники ABC і гомотетічни, причому центр гомотетии лежить в точці М. За визначенням гомотетии, точки В, М і В '= лежать на одній прямій. p> Третє доказ (9 клас).
Розглянемо трикутники MAC і МС (рис. 3). Їх висоти, опущені з вершини С, збігаються, а довжини протилежних цій вершині сторін ставляться як 2:1, тому , де S позначає площу. Аналогічно,. Але . Отже,
. Таким чином, трикутники МАВ, МВС і МСА рівновеликі. Нехай В ' - точка перетину прямих ВМ і АС. Доведемо, що АВ '= В'С. З одного боку,
В
З іншого боку,
В
.
Користуючись теоремою
,
...
