Лінійна алгебра та аналітична геометрія
Завдання № 1. Дано точки А, В, С: А (5, 6), В (4; -5), С (-4; 5). p> Побудувати: вектори і.
Знайти: 1) вектори і;
) модулі векторів і;
) скалярний твір.
Рішення:
В В
В
.
.
В В
.
Відповідь: 1);;
);;
).
Завдання № 2. Дано точки А, В, С: А (5, 6), В (4; -5), С (-4; 5). p> Знайти: а) рівняння прямої АВ;
б) рівняння висоти АD;
в) рівняння прямої, що проходить через точку А паралельно прямий ВС.
Рішення:
В
а) рівняння АВ:
В В В В
.
б) рівняння висоти АD:
. рівняння ВС:
В В В В
.
. кутовий коефіцієнт:
.
. кутовий коефіцієнт:
.
. рівняння AD:
В В
.
в) рівняння прямої:
В В В
.
Відповідь: а), б), в).
Завдання № 3. Дана система лінійних рівнянь:
В
Знайти: а) визначник основної матриці системи А;
б) зворотну матрицю А-1;
в) вирішити систему лінійних рівнянь методом Крамера.
Рішення: а)
.
б) А-1:
~ ~ ~ ~
,,.
,.
.
в)
В
,
,
.
,
.
Відповідь: а), б), в),.
Завдання № 4. Вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь
В
~ ~
Нехай у 1-му рівнянні базисна, тоді елемент - дозволяючий. Перший рядок, третій стовпець - дозволяють. Розділимо елементи роздільної рядка на дозволяючий елемент (). Запишемо роздільну рядок після цього перетворення. p>,,,.
,,,.
Нехай у 3-му рівнянні базисна, тоді елемент - дозволяючий. Третій рядок, перший стовпець - дозволяють. Розділимо елементи роздільної рядка на дозволяючий елемент (). Запишемо роздільну рядок після цього перетворення. br/>
,,.
,,.
~
Запишемо еквівалентну систему лінійних рівнянь:
В
Відповідь:,,.
Завдання № 5. Виконати дії з матрицями:
а), б).
Рішення:
а).
б).
Відповідь: а), б).
Завдання № 6. Вирішити завдання лінійного програмування:
Підприємство планує випуск двох продукцій I і II, на виробництво яких витрачається три види сировини А, В, С. Потреба на кожну одиницю-го виду продукції-го виду сировини, запас відповідного виду сировини і прибуток від реалізації одиниці-го виду продукції задані таблицею:
Види сирьяВіди продукцііЗапаси сирьяIIIА В З Прибуток План, од.
Для виробництва двох видів продукції I і II з планом і одиниць скласти цільову функцію прибутку і відповідну систему обмежень по запасах сировини, припускаючи, що потрібно виготовити в сумі не менше n одиниць обох видів продукції.
В умовах задачі 1 скласти оптимальний план (,) виробництва продукції, що забезпечує максимальний прибуток. Визначити залишки кожного виду сировини. (Завдання вирішити симплекс-методом). p> Побудувати за отриманою системі обмежень багатокутник допустимих рішень і знайти оптимальний план виробництва геометричним шляхом. Визначити відповідний прибуток. p> Рішення:
Нехай підприємство виробляє одиниць продукції I та одиниць продукції II. Тоді задачу лінійного програмування на максимум можна записати наступним чином:
? - Цільова функція. p> Обмеження по ресурсах:
А:
В:
З:
В В
Введемо в кожне нерівність додаткову балансову змінну зі знаком В«+В», отримаємо систему обмежень у вигляді системи лінійних рівнянь:
В
Для знаходження початкового базисного рішення розіб'ємо змінні на основні (базисні) і неосновні (вільні):
Запишемо розширену матрицю системи розміром.
В
На першому етапі за основні можна прийняти,,. Якщо обрані за цим правилом базисні змінні мають ті ж знаки, що і відповідні їм вільні члени, то отримані базисні рішення будуть допустимими. p> Основні змінні:,,.
Неосновні змінні:,.
Висловимо основні змінні через неосновні
В В
Запишемо перший базисне рішення, прирівнявши неосновні змінні до 0, тобто,.
- це рішення є допустимим.
Висловимо цільову функцію через неосновні змінні
? p> Функцію можна збільшити за рахунок збільшення будь-який з неосновних змінних, що входять у вираз для з позитивними коефіцієнтами. Для визначеності виберемо. Виходячи з умови невід'ємності змінних, з системи можна вибрати найбільш можливе значення змінної:
В
При мінлива звертається до 0 і переходить в неосновні змінні, а - в основні.
Основні:,,.
Неосновні:,.
Висловимо нові основні змінні через нові неосновні, починаючи з дозволяючого рівняння для:
В
Так...
