Зародження і створення теорії дійсного числа
В
Зміст
1. Зародження і розвиток поняття числа
2. Проблема несумірних чи Перший криза в підставі математики
2.1 Наслідки першої кризи і спроби його подолання
3. Становлення теорії межі
4. Створення теорії дійсного числа
4.1 Карл Вейерштрасс
4.2 Георг Кантор
4.3 Ріхард Дедекінд
Висновок
В
1В Зародження і розвиток поняття числа
У основі математики лежить поняття числа, одне з найбільш ранніх і абстрактних. Воно виникло як узагальнення рахунки окремих предметів. Рахунок притаманний не тільки людині, а й, в деякій формі, і тваринам, наприклад кішці, яка відчуває наявність при собі всіх своїх кошенят.
Найбільш рання форма рахунку носить конкретно-чуттєвий характер. Такий рахунок можна виявити в первісних людей і у тварин. Проте не можна з упевненістю сказати, що тільки людина здатна до абстрактного рахунку. Є дані про здібності приматів до символізації рахунка В«Примати здатні розпізнавати і узагальнювати ознака В«число елементівВ», встановлювати відповідність між цим абстрактним ознакою і раніше нейтральними для них стимулами - арабськими цифрами. Оперуючи цифрами як символами, вони здатні ранжувати безлічі і впорядковувати їх за ознакою В«числоВ», а також здійснювати число процесів, відповідне цифрі. Нарешті, вони здатні до виконання операцій, ізоморфних додаванню, але це питання потребує більш точних досліджень. В»[12]. Там же відзначається висока здатність до символізації та узагальненні за ознакою В«кількостіВ» у воронових.
Перехід від В«чуттєвого рахункиВ» до абстрактного здійснюється за допомогою взаємооднозначної відповідності між двома множинами, одне з яких пізніше приймається як би за еталон. Взаімооднозначном відповідність по початку носить також конкретно-чуттєвий характер (наприклад, розташування елементів один навпроти одного). Таким способом користуються навіть сучасні люди, коли вважають небудь загинаючи пальці. Вважається, що саме рахунок на пальцях лежить в основі десятковоїсистеми числення, прийнятої у європейських народів [10, стор 11]. На цьому етапі узагальнення з'являється знакове позначення числа. Спочатку це були зарубки на дереві, кістках, вузлики на мотузках, кількість яких збігалося із значенням числа. Конкретно-чуттєве походження чисел знаходить своє відображення в мові. В«Спочатку рахунок проводився за допомогою підручних коштів: пальців каменів, ялинових шишок і т.д. Сліди цього збереглися у назві математичних числень: calculus, яке має латинське походження і означає: рахунок камінчиками В»[11, стор 17]. З розвитком культури і суспільства з'являється потреба у використанні більш великих чисел, так з'являються різноманітні числові системи. Сучасна десяткова система з'явилася в результаті розвитку древніх систем числення. До систем числення попереднім десяткового відносяться:
• Ієрогліфічні непозиційної системи. До неї відноситься Римська система. У ній числа формується з набору вузлових чисел позначених ієрогліфами. Число утворюється з цього набору шляхом дописування праворуч або ліворуч вузлового числа інших вузлових чисел. Значення числа обчислюється за аддитивному або субстрактівному принципом. p> • Алфавітні системи числення. Тут числа записуються за допомогою букв. Щоб відрізнити літери від чисел, кожній букві приписується відмітна ознака. Букви використовуються для запису чисел беруться в групи по 9 штук. Для запису одиниць десятків і сотень використовуються різні групи букв, що істотно ускладнює її використання. p> • Позиційні недесяткових системи числення. p> Майже одночасно з рахунком зароджуються математичні операції додавання і віднімання (коли зменшуване більше від'ємника). Пізніше з'являється множення, як повторне додавання. Ділення з'являється значно пізніше, ніж множення, хоча уявлення про простих дробах () з'являється порівняно рано. Поняття про натуральних числах, як про нескінченному наборі чисел, виникло не відразу. Уявлення про незліченно великих числах збереглися в мові, наприклад в російській словами В«тьмаВ», В«багатоВ». Найбільш чітке уявлення про безмежному продовженні ряду натуральних чисел виявлено у грецьких математиків. У XII-VII століттях до н.е. (Часів Гомера) найбільшим числом було мириада (1000), яке пізніше стала позначати 10000. У III в до н.е. Архімед у своїй праці В«Ісчіленіе піщинокВ» спростував можливість побудувати як завгодно велике число.
Однак навіть в математиці Стародавньої Греції не було єдиного уявлення про те, що таке число. Так у школі Піфагора і Платона вважали одиницю не числом, а В«ембріоном числа В». Варто відзначити, що міфологічна свідомість давньогрецького суспільства ще не до кінця сприймало математичні та філософські абстракції. В«Найменш доступні розумінню широких кіл були саме числа, ці найбільш абстрактні ...
