Диференціальні рівняння лінійних систем автоматичного регулювання
Визначення динамічних властивостей об'єктів за допомогою диференціальних рівнянь може бути поки успішно виконана тільки для порівняно простих об'єктів. Як правило, в рідкісних випадках можна при невеликій витраті часу скласти досить точне диференціальне рівняння об'єкта.
У теперішній час при складанні диференціальних рівнянь елементів і систем регулювання прийнято користуватися безрозмірними змінними величинами. Для цього відхилення величин відносять до яких-небудь постійним (базовим) значенням величин, наприклад до максимальних або середнім (номінальним). Висловлюючи вхідну і вихідну величини елемента (або системи) в частках від цих базових величин, вводять безрозмірні координати.
Наприклад, рівняння
( З * d ( D Q)/ З C * dt) + D Q = 2 * I 0 * R * D I/ З C * F (1)
D I / I = X ВХ характеризує відносне відхилення вхідний величини від базового значення, а D Q / Q 0 = Х вих відносне відхилення вихідний величини. Для переходу від розмірної форми запису диференціального рівняння до безрозмірною проводять заміну абсолютних координат відносними. Так, наприклад, рівняння ( 1) можна записати в безрозмірною формі, замінивши:
D Q = Q 0 * Х вих і D I = I * X ВХ
Тоді
С * Q 0 * d Х вих /С C * F * dt + Q 0 Х вих = 2 * I 0 2 * R * X ВХ /С C * F
Розділивши обидві частини рівняння на Q 0, п олучая:
С * d Х вих /С C * F * dt + Х вих = 2 * I < b> 0 2 * R * X ВХ /С C * F * Q 0
Позначимо:
З / З C * F = Т 2 * I 0 2 * R/ З C * F * Q 0 = R
Коефіцієнти при похідних від вихідної величини називаються постійними часу і мають розмірність часу
Справді,
З [ дж/град ] /С < sub> C [ вт/см 2 * град ] * F [ см ] = С/С C * F [ дж * см 2 * град/град * вт * см 2 ]
Коефіцієнт К при X ВХ називається коефіцієнтом посилення, і природно повинен бути безрозмірним:
2 * I 0 2 [ А 2 ] * R [ Ом ] /С C [ вт/см 2 * град ] * F [ см ] * Q 0 [ град ] =
= 2 * I 0 2 * R /С C * < b> F * =
= 2 * I 0 2 * R/ З C * F * Q 0 [ 0 ] < b> = К
Рівняння (1) з урахуванням введених позначень матиме в безрозмірною формі наступний вигляд:
Т * Х / вих + Х вих = К * Х вх (2)
Визначимо для прикладу рівняння кривої розгону термічної печі, диференціальне рівняння якої було введено раніше:
Т * Х / вих + Х вих = К * Х вх
Будемо шукати рішення цього рівняння у вигляді
Х вих = С * е rt + K * Х вх 0
Де r і С підлягають визначенню
Підставляючи значення Х вих і Х / вих в рівняння ( 2). Отримаємо
Т * С * r * е rt + З * е rt = 0
Скорочуючи на З * е rt будемо мати:
Т * r + 1 = 0
Звідки r = - 1/Т і рішення прийме вигляд
Х вих = К * Х вх 0 (1-е - t / T )
При t = 0 Х вих = 0 отже З = К * Х вх 0 . тоді рівняння кривої розгону буде:
Х вих = К * Х вх 0 ( 1-е - t / T )
Графік кривої розгону:
При t = ВҐ вихідна величина Х вих досягає граничного значення
Х вих. вуст = К * Х вх 0
Коефіцієнт посилення К визначає ставлення сталих значень вихідної величини до вхідної:
К = Х вих. вуст/Х вх 0
Коефіцієнт посилення може бути безпосередньо знайдений з графіка перехідної функції; постійна часу Т характеризує інерційність процесу.
Таким чином, криві розгону дають наочне уявлення про характер протікання перехідних процесів в системі або об'єкті.
