Міжнародний університет природи, суспільства і людини Дубна
Філія Угреша
Кафедра Нові матеріали і технології
Дисципліна Рівняння математичної фізики
Курсова робота
«Диференціальні рівняння в приватних похідних»
Перевірив: В.В. Кожевников
Дзержинський 2011
Зміст
Введення
. Класифікація
. Існування і єдність розв'язку
. Основні рівняння математичної фізики
. 1 Хвильове рівняння
. 2 Рівняння теплопровідності
. 3 Рівняння Пуассона і Лапласа
. 4 Початкові і граничні умови
. Приклади задач для УМФ
. 1 Одномірне рівняння теплопровідності
. 2 Рівняння коливань струни
. 3 Двовимірне рівняння Лапласа
. Рішення рівнянь математичної фізики
. 1 Аналітичне рішення
. 2 Чисельне рішення
Висновок
Література
Введення
Диференціальні рівняння в приватних похідних (загальновживане скорочення ДУЧП, також відомі як рівняння математичної фізики, УМФ) - диференціальні рівняння, що містять невідомі функції декількох змінних і їх приватні похідні.
Класичні рівняння математичної фізики є лінійними. Особливість лінійних рівнянь полягає в тому, що якщо u і v - два рішення, то функція при будь-яких постійних? і знову є рішенням. Ця обставина дозволяє побудувати спільне рішення лінійного диференціального рівняння з фіксованого набору його елементарних рішень і спрощує теорію цих рівнянь.
Сучасна загальна теорія диференціальних рівнянь займається головним чином лінійними рівняннями і спеціальними класами нелінійних рівнянь. Основним способом вирішення нелінійних диференціальних рівнянь в приватних похідних виступає чисельне інтегрування.
1. Класифікація
Розмірність ДУ дорівнює кількості незалежних змінних і для УЧП повинна бути не менше 2 (при 1 виходить звичайне диференціальне рівняння).
Є лінійні і нелінійні рівняння. Лінійне рівняння представимо у вигляді лінійної комбінації похідних від невідомих функцій і самої шуканої функції. Коефіцієнти при цьому можуть бути або постійними, або відомими функціями. Лінійні рівняння добре досліджені, за рішення окремих видів нелінійних рівнянь призначені мільйонні премії (завдання тисячоліття). Рівняння, лінійні щодо старших похідних, називаються квазілінійну.
Рівняння є неоднорідним, якщо в ньому є доданок, не залежне від невідомих функцій, при його відсутності рівняння називається однорідним.
Порядок диференціального рівняння визначається максимальним порядком похідної. Мають значення порядки по всім змінним.
Лінійні рівняння другого порядку в приватних похідних підрозділяються на параболічні, еліптичне і гіперболічні.
Лінійне рівняння другого порядку, залежне від двох незалежних змінних має вигляд:
, (1.1)
де A, B, C - коефіцієнти, залежні від змінних x і y, а три крапки означає члени, залежні від x, y, u і приватних похідних першого порядку: і. Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:
. (1.2)
Так само, як конічні перетини поділяються на еліпси, параболи і гіперболи, в залежності від знаку дискримінанта D =? AC, класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:
- гіперболічне рівняння, (1.3)
- еліптичну рівняння, (1.4)
- параболічне рівняння (1.5)
(тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не звертаються в нуль одночасно).
У випадку, коли всі коефіцієнти A, B, C - постійні, рівняння має один і той же тип у всіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C безперервно залежать від x і y, безліч точок, в яких дане рівняння відноситься до гіперболічного (еліптичному), типу утворює на площині відкриту область, звану гіперболічної (еліптичної), а безліч точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типу, замкнуто. Рівняння називається змішаним (змішаного типу), якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичну. У цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану лінією зміни типу або лінією виродження.
2. Існування і єдність розв'язку
Хоча...
