Лекція 2
диференціальних рівнянь і передавальні функції ЛІНІЙНИХ БЕЗПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ
1. Математичний апарат при аналізі безперервних САР. Поняття оператора
Найпростішим математичним поняттям є число, що виражає кількісно величину параметра або впливу.
Більш широким поняттям є числова вісь, на якій розташовано безліч чисел (рис.2.1). На відрізках AB і A1B1 також розташовано нескінченне число точок. У таких випадках говорять, що безліч AB ширше безлічі A1B1. Самі ці безлічі, закон перерахунку чисел яких невідомий, називають континуальними. Коли вдається вказати закон перерахунку чисел, безліч називають рахунковим. Якщо всі крапки безлічі можна перерахувати, то безліч називають кінцевим.
На практиці інженерам доводиться мати справу саме з континуальними множинами чисел, які можуть відображати діапазон зміни деякого впливу (керуючого або возмущающего) або якого-небудь параметра.
Уточнимо поняття функції. Функцією називається всяке відповідність між точками одного безлічі і точками іншої безлічі (кожній точці одного безлічі відповідає точка іншої безлічі). Наприклад (рис.2.2), якщо задані безлічі чисел і, і функція, то в цьому випадку говорять, що функція f визначена (задана) на множині U зі значеннями на безлічі X.
Функція в інженерному свідомості асоціюється з безінерційними ланками (ріс.2.2б), що реалізують необхідну функціональну залежність.
Функціоналом називається всяке відповідність між функціями одного безлічі і точками іншої безлічі (кожної функції відповідає точка). Функціонали задаються на безлічі функцій. Типовий приклад функціоналу:
,
де f (x) - деяка задана функція;- Варійоване кількість елементарних ділянок інтегрування.
Інший приклад - якщо відома функція двох змінних, то можна побудувати функціонали типу
при різних значеннях аргументу x і фіксованому.
В ТАУ функціонали використовуються при побудові оптимальних САУ для визначення необхідного співвідношення між параметрами САР.
Усяке відповідність між функціями одного безлічі (X) і функціями іншої безлічі (Y) називається оператором. Наприклад (рис.2.3), нехай A - оператор, що відображає коефіцієнт передачі (посилення) деякого пристрою (). Тоді оператор A пов'язує всі вхідні функції x (t) з вихідними y (t), впливаючи на вхідний сигнал (у нашому прикладі - множачи його в кожен момент часу на коефіцієнт k - посилюючи його). Таке ланка в результаті формує вихідну функцію y (t), що відрізняється від вхідних x (t) на постійний множник (ріс.2.3б).
Поняття оператора широко використовується в ТАУ. Найбільш широко використовуваними є оператори диференціювання та інтегрування (визначення невизначеного інтеграла).
Зокрема, якщо оператор
=TD,
де - символ (оператор) диференціювання за часом, T - деяка постійна часу [c], то вплив оператора на деяку вхідну функцію x (t) дає вихідну функцію
.
Тобто, результатом використання оператора TD є те, що він, впливаючи на вхідний сигнал x (t), видає похідну від цього сигналу за часом в кожен момент t, помножену на коеф...
