Міністерство освіти и науки України
Приватний вищий навчальний заклад
Європейський университет
Запорізька філія
Реферат
Граничні теореми Теорії ймовірностей
з дісціпліні: Теорія ймовірностей та математична статистика
Запоріжжя,
2007р.
Теорема Бернуллі. Нехай імовірність появи події А в кожному Із п незалежних Повторну випробувань дорівнює р, т - число появ події А (частота події) в п випробуваннях. Тоді
В
Доведення. Частість можна розглядаті як невід'ємну Випадкове величину. Знайдемо ее математичне сподівання
В
Отже, звітність, оцініті імовірність відхілення віпадкової велічінівід ее математичного сподівання. Для цього Знайдемо дісперсію цієї віпадкової розмірів
В
За нерівністю Чебішова одержимо
В
Звідсі граничних переходомодержуємо (4), что ї треба Було довести. p> Теорема Чебішова. Нехай - послідовність попарно незалежних Випадкове величин, Які задовольняють умів
В
для усіх t = 1,2, ..., п.
Тоді
Доведення. Знайдемо математичне сподівання та дісперсіюсередньої Випадкове величин, тоб
В В
Застосуємо для віпадкової Величини нерівність Чебішова (2)
В В
Границя цієї імовірності при дорівнює одініці, тоб Рівність (5) доведено.
Центральна гранична теорема. Нехай задана послідовність незалежних однаково розподіленіх Випадкове величин
В
Розглянемо Випадкове велічінуТоді
В
Пріфункція розподілу
В
тоб сумабуде розподілена за нормальним законом з математичность сподіванням 0 та дісперсією
Для доведення цієї теореми треба найти границю характерістічної Функції, побудованої для нормованої віпадкової розмірів
В
Наслідок. При Розподіл суми однаково розподіленіх Випадкове величин мало відрізняється від нормального розподілу.
Теорема Ляпунова. Нехай задана послідовність незалежних Випадкове величин таких, что
В
Побудуємо суму Випадкове величин ПозначімоЯкщо віконується Умова рівномірної малості величин, что утворюють суму
В
В
то сумабуде розподіленою нормально з математичность сподіваннямта дісперсією
Доведення цієї теореми й достатньо складенні, альо відмітімо, что у випадка, коліможна розглядаті віпадкові Величини Велічінібудуть задовольняті умову теореми Ляпунова.
Приклад 2. Скільки Додатків треба взяті у теоремі Чебішова, щоб з надійністю 96% и точністю до 0.01 віконувалась набліжена Рівність
В
розв'язок. У цьом прікладі є = 0.01. Щоб здобудуть Надійність 96% згідно формули (6) Достатньо підібраті таке п, Яке задовольняє нерівність
В
Зауваження 1. Приклад 2 показує, что даже у випадка НŠ​​Дуже великих точності та надійності, треба брати значний кількість Додатків (п - й достатньо ровері число). Це означає, что ОЦІНКИ, одержані з Використання нерівності (6), - завіщені. Більш точні ОЦІНКИ можна здобудуть помощью теореми Ляпунова.
Список використаної літератури
1. Барковській В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. - К.: ЦУЛ, 2002. - 448с. p> 2. Гмурман В.Є. теорія ймовірностей і математична статистика. - М.: Вища школа, 1980. p> 3. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей та математичної статистики. - М.: Вища школа, 1975. p> 4. Гнеденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. - М.: наука, 1988. p> 5. Леоненко М.М., Мішура Ю.С. та ін. Теоретико-ймовірностні та статистичні методи в економетріці та фінансовій математіці. - К.: Інформтехніка, 1995. br/>
