СИСТЕМИ Випадкове ВЕЛИЧИН
(реферат)
В
Вступ
N -вімірній вектор (t-індекс транспонування) назівається Випадкове, ЯКЩО йо координат та є випадкове величинами. Вектор назівають дискретності , ЯКЩО йо координат - діскретні віпадкові величини, неперервно , ЯКЩО йо компоненти - неперервні віпадкові Величини и змішанім , ЯКЩО частина его компонент - діскретні віпадкові величини, а Інша частина - неперервні віпадкові величину. Віпадкові N -вімірні Вектори назівають ще системою N Випадкове величин або багатовімірнімі Випадкове величинами. У Подалі розглядаються двовімірні віпадкові векторів (системи двох Випадкове величин), Які позначаються.
1. Розподілі системи двох Випадкове величин
Система двох дискретних Випадкове величин однозначно візначається суміснім розподілом ймовірностей, Який можна Задати матрицю
y 1 y 2 ... y m
, (1.1)
().
стовпчік матріці відповідають значень віпадкової Величини Y , а рядки - значення віпадкової Величини X . Події утворюють повну групу подій, тому сума ЕЛЕМЕНТІВ матріці дорівнює 1 :
.
Розподілі
,
В
назівають розподіламі компонент системи двох Випадкове величин. Події,, ...,, є несуміснімі, того за теоремою додавання ймовірностей несумісніх подій сума ЕЛЕМЕНТІВ и -рядка матріці дорівнює ймовірності значення:
. (1.1а)
Аналогічно, сума ЕЛЕМЕНТІВ j -стовпчік дорівнює ймовірності значення:
. (1.1b)
Приклад 1.1. Система двох Випадкове величин задана суміснім розподілом
y 1 y 2
В
знайте розподілі компонент системи Випадкове величин.
Розв'язування . За формулами (1.1а) та (1.1b)
;
;
;
;.
Отже, розподілі компонент
В
.
Будь-який двовімірній Випадкове вектор (неперервно чг дискретності) однозначно візначається інтегральною функцією сумісного розподілу
, (1.2)
яка візначає ймовірність того, что Випадкове величина X пріймає Значення менше чем x , а - менше чем y . Геометрична Інтерпретація інтегральної Функції сумісного розподілу Полягає в тому, что вона візначає ймовірність попадання віпадкової точки у нескінченній заштріхованій квадрат Із верховіттям у точці (рис 1.1). p> Інтегральна функція розподілу Випадкове вектора має Такі очевідні Властивості.
Властівість 1 .
.
Властівість 2 . Функція неспадна по шкірному аргументу
, ЯКЩО;
, ЯКЩО.
Властівість 3 . Мают місце граничні співвідношення
,,, . br/>
Властівість Для функція мают місце ще и Такі граничні співвідношення
,
,
- інтегральна функція розподілу компоненти X Випадкове вектора.
- інтегральна Функції розподілу компоненти Y Випадкове вектора.
Зх Використання Функції розподілу (1.2) легко можна обчісліті ймовірність попадання віпадкової точки у напівсмугу ту (рис 1.2)
, (1.3а)
. (1.3б)
Імовірність попадання віпадкової точки у напівсмугу дорівнює приросту інтегральної Функції сумісного розподілу по відповідному аргументу.
Доведення. Імовірність попадання у напівсмугу дорівнює різніці ймовірності попадання точки у нескінченній квадрат з вершиною () i ймовірності попадання точки у нескінченній квадрат з вершиною (. Звідсі и слідує Рівність (1.3а)
Імовірність попадання віпадкової точки у прямокутник Утворення Прямим
В
(рис.1.3) обчіслюється за формулою
(1.4)
Доведення. Імовірність попадання у прямокутник дорівнює різніці ймовірності попадання точки у напівсмугу () i ймовірності попадання у напівсмугу (). Звідсі и слідує Рівність (1.3а)
Приклад 1.2. Знайте ймовірність пападання віпадкової точки у прямокутник обмеженності прямо,,, , ЯКЩО відома інтегральна функція сумісного розподілу
В
Розв'язування . За формулою (1.4) у якій,,, br/>В В В
Система двох неперервно Випадкове величин однозначно візначається Густиня сумісного розподілу ймовірностей
. (1.5)
В
Приклад 1.3. Знайте Густиня сумісного розподілу системи Випадкове величин, ЯКЩО відома інтегральна функція сумісного розподілу
В
Розв'язування . За формулою (1.5)
В В
Інтегральна функція сумісного розподілу неспадна по шкірному аргуме...
