Чіслові характеристики системи Випадкове величин та їх граничні теореми
В
1. Кореляційній момент, коефіцієнт кореляції
Кореляційнім моментом (коваріацією) Випадкове величин и назівається математичне сподівання добутку відповідніх ним центрування величин:
. (1)
Властивості коваріації:
1. /Td>
2. /Td>
3. /Td>
Перші Дві з них очевідні, остання доводитися такоже легко:
В
Коефіцієнтом кореляції назівається кореляційній момент нормованої віпадкової величин:
В
Теорема. Для будь-яких випадкове величин, коефіцієнт кореляції причому знак рівності можливий тоді и Тільки тоді, коли и з імовірністю 1 пов'язані лінійно.
Доведення. Обчіслімо дісперсію лінійної комбінації Випадкове величин и з довільнім коефіцієнтом та врахуємо, Що з властівостей дісперсії вона є невід'ємною.
При цьом отрімаємо невід'ємну квадратичної форми відносно змінної з невід'ємнім коефіцієнтом прі.
В
Це Можливо позбав за умови, что ее діскрімінант. З урахуванням визначення (1) Цю нерівність можна переписати у вігляді:
В
або
В
або мовою середніх квадратичних відхілень Випадкове величин
.
тоб
В
Доведемо тепер другу Частину теореми: тоді и Тільки тоді, коли и з імовірністю 1 пов'язані лінійно.
Необхідність:
В
Достатність:
,,,
,.
Віпадкові Величини x, h назіваються некорельованімі, ЯКЩО їх коваріація дорівнює нулю. Если віпадкові Величини x, h незалежні, то смороду некорельовані. br/>
.
зворотнього Твердження, взагалі Кажучи, що не має місця.
Наприклад,
.
В
.
для описування зв'язків, что існують между проекціямі Випадкове вектора (x, h), крім коваріації можна використовуват чіслові характеристики умовних Законів розподілу,.
умовно середнім значення І умовно дісперсією віпадкової Величини x за умови h = Y назіваються величин:
,
.
Аналогічно візначаються характеристики і.
для описування Випадкове вектора такоже вводять Початкові и центральні моменти:
,.
2. Комплексна Випадкове величина, характерістічні Функції
Комплексна Випадкове величина, что вводитися за формулою, є іншім способом Опису Випадкове вектора (,).
Віпадкові Величини и назіваються Незалежності, ЯКЩО Незалежності є віпадкові векторів (,) і (,).
,
,
,
,
В
,
,
,
,
.
характеристичностью функцією віпадкової Величини назівається середнє Значення вирази.
.
Функцію назівають такоже характеристичностью функцією відповідного закону розподілу:
(2)
Як видно з (2), типова функція є перетворенням Фур'є відповідної їй щільності імовірності:
В
Властівість 1. При додаванні незалежних Випадкове величин їхні характерістічні Функції перемножуються.
В
Властівість 2. Розкладання характерістічної Функції в ряд за ступенями дозволяє найти ВСІ моменти,,, ... віпадкової величину.
В
3. Віді збіжності Випадкове величин
Послідовність Випадкове величин x 1 , x 2 ... назівається такою, что збігається з Випадкове завбільшки x в розумінні СЕРЕДНЯ квадратичного, ЯКЩО границя математичного сподівання квадрата абсолютного значення відхілення від прямує до нуля за умови, что, тоб
.
Величина x назівається ще СК границею послідовності {x n }.
чи.
Оскількі
,
СК збіжність рівносільна Виконання умів:
.
Послідовність Випадкове величин збігається з Випадкове завбільшки прі за імовірністю, ЯКЩО для шкірного будь-якого e> 0
,
.
Збіжність послідовності до віпадкової величина за ймовірністю сімволічно позначається таким чином:
.
Для будь-якої віпадкової величиною при будь-якому e> 0
.
В
.
Наслідок.
В
Зі збіжності у СК віпліває збіжність за ймовірністю.
4. Граничні теореми Теорії ймовірностей
Нерівність Чебишева.
.
(3)
Як віпліває з нерівностей (3) Зі Зменшення дісперсії, основна частина площі под крівої f x (x) віявляється зосередженою в околі точки.
В
Рисунок 1
Внасл...
