Правила дефферінцірованія
Самостійна робота з дисципліни: В«МатематикаВ» Лапшина Дмитра Петровича студента I курсу групи 10п p> Новокуйбишевський державний гуманітарно-технологічний коледж
2010
Основні правила диференціювання
Позначимо f (x) = u, g (x) = v-функції, що диференціюються в точці х.
1) (u п‚± v) п‚ў = u п‚ў п‚± v п‚ў
2) (u пѓ— v) п‚ў = U пѓ— v п‚ў + u п‚ў пѓ— v
3), якщо v п‚№ 0
Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про межах.
Похідні основних елементарних функцій:
1) З п‚ў = 0; 9)
2) (xm) п‚ў = Mxm-1; 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)
Логарифмічні диференціювання
Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх попередньо Прологаріфміровав. Для цього поступають таким чином. Якщо потрібно знайти y 'з рівняння y = f (x), то можна:
Прологаріфміровав обидві частини рівняння (по підставі е) ln y = ln f (x) = j (x). p> продифференцировав обидві частини рівності, вважаючи ln y складною функцією від змінної x:. p> Висловити y '= y В· j' (x) = f (x) В· (lnx) '.
Прімери.
y = Xa - ступенева функція з довільним показником. p>.
В
Показово-статечна функція і її диференціювання
Показово-ступеневій функцією називається функція виду y = uv, де u = u (x), v = v (x).
Логарифмічні диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-степеневої функції.
В В
Приклади
В
. p> Таблиця похідних
Об'єднаємо в одну таблицю всі основні формули і правили диференціювання, виведені раніше. Усюди будемо вважати u = u (x), v = v (x), С = const. Для похідних основних елементарних функцій будемо користуватися теоремою про похідну складної функції.
. p>. p>. p>. p>. p> а).
б) . p>. p>. p>.
В
. p>. p>. p>. p>. p>. p>. p>. p>.
Приклади
В В
. Знайти y '(-1). <В
Похідна зворотних функцій
Нехай потрібно знайти похідну функції у = f (x) за умови, що зворотна їй функція x = g (y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.
Для вирішення цього завдання диференціюємо функцію x = g (y) за х:
В
тому g п‚ў (y) п‚№ 0
В
тобто похідна зворотної функції обратна за величиною похідною даної функції.
Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg. p> Функція arctg є функцією, зворотної функції tg, тобто її похідна може бути знайдена таким чином:
В
Відомо, що
За наведеної вище формулі отримуємо:
В
Т.к. то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенса:
В
Поняття диференціала функції. Зв'язок між диференціалом і похідної
Нехай функція y = f (x) диференційовна на відрізку [a; b]. Похідна цієї функції в деякій точці х0 пѓЋ [a; b] визначається рівністю
В
Отже, по властивості межі
В
Примножуючи всі члени отриманої рівності на О”x, отримаємо:
О”y = F '(x0) В· О”x + A В· О”x. p> Отже, нескінченно малий приріст О”y диференціюється y = f (x) може бути представлено у вигляді суми двох доданків, з яких перше є (При f '(х0) в‰ 0) головна частина приросту, лінійна відносно О”x, а друге - нескінченно мала величина вищого порядку, ніж О”x. Головну частина приросту функції, тобто f '(х0) В· О”x називають диференціалом функції в точці х0 і позначають через dy.
Таким чином, якщо функція y = f (x) має похідну f '(x) в точці x, то твір похідної f '(x) на прирощення О”x аргументу називають диференціалом функції і позначають:
dy = F '(x) В· О”x
(1) /Td>
Знайдемо диференціал функції y = x. У цьому випадку y '= (x)' = 1 і, отже, dy = dx = О”x. Таким чином, диференціал dxнезавісімой змінної xсовпадает з її приростом О”x. Тому формулу (1) ми можемо записати так:
dy = F '(x) dx
Але з цього співвідношення випливає, що. Отже, похідну f '(x) можна розглядати як відношення диференціала функції до диференціалу незалежної змінної.
Раніше ми показали, що з діфференцируємості функції в точці слід існування диференціала в цій точці.
Справедливо і зворотне твердження.
Якщо для даного значення x приріст функції О”y = f (x + О”x) - f (x) можна представити у вигляді О”y = A В· О”x + О±, де О± - Нескінченно мала величина, яка задовольнить умові, тобто якщо для функції y = f (x) існує диференціал dy = A В· dx в деякій точці x, то ця функція має похідну в точці x і f '(x) = А.
Дійсно, маємо, і так як при О”x в†’ 0, то.
Таким чином, між диференціюється та існуванням диференціала мається дуже тісний зв'язок, обидва п...
