оняття рівносильні.
Прімери. Знайти диференціали функцій:
В
.
Геометричний сенс диференціала
В
Розглянемо функцію y = f (x) і відповідну їй криву. Візьмемо на кривій довільну точку M (x; y), проведемо дотичну до кривої в цій точці і позначимо через О± кут, який дотична утворює з позитивним напрямом осі Ox. Дамо незалежної змінної x прирощення О”x, тоді функція отримає прирощення О”y = NM1. Значенням x + О”x і y + О”y на кривої y = f (x) буде відповідати точка
M1 (x + О”x; y + О”y).
З О”MNT знаходимо NT = MN В· tg О±. Т.к. tg О± = F '(x), а MN = О”x, то NT = f '(X) В· О”x. Але за визначенням диференціала dy = f '(x) В· О”x, тому dy = NT.
Таким чином, диференціал функції f (x), відповідної даними значенням x і О”x, дорівнює збільшенню ординати дотичної до кривої y = f (x) в даній точці х.
Теорема про інваріантності диференціала
Раніше ми бачили, що якщо u є незалежною змінною, то диференціал функції y = f '(u) має вигляд dy = f' (u) du.
Покажемо, що ця форма зберігається і в тому випадку, коли u є не незалежною змінної, а функцією, тобто знайдемо вираз для диференціала складної функції. Нехай y = f (u), u = g (x) або y = f (g (x)). Тоді за правилом диференціювання складної функції:
.
Отже, за визначенням
,
але g '(x) dx = du, тому dy = f' (u) du.
Ми довели наступну теорему.
Теорема. Диференціал складної функції y = f (u), для якої u = g (x), має той же вигляд dy = f '(u) du, який він мав би, якби проміжний аргумент u був незалежною змінної.
Інакше кажучи, форма диференціала не залежить від того, є аргумент функції незалежної змінної або функцією іншого аргументу. Це властивість диференціала називається инвариантностью форми диференціала.
Приклад. . Знайти dy. p> Враховуючи властивість інваріантності диференціала, знаходимо
.
Застосування диференціала до наближених обчислень
Нехай нам відомо значення функції y0 = f (x0) і її похідної y0 '= f' (x0) в точці x0. Покажемо, як знайти значення функції в деякій близькою точці x. p> Як ми вже з'ясували приріст функції О”yможно представити у вигляді суми О”y = dy + О± В· О”x, тобто приріст функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих О”x другим доданком в наближених обчисленнях, іноді користуються наближеним рівністю О”y ≈ dyілі О”y В»f '(x0) В· О”x.
Т.к., за визначенням, О”y = F (x) - f (x0), то f (x) - f (x0) ≈ f '(x0) В· О”x.
Звідки
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) · Δx
Приклади:
y = x2 - 2x. Знайти наближено, за допомогою диференціала, зміна y (тобто О”y), коли x змінюється від 3 до 3, 01. p> Маємо О”y ≈ dy = f '(x) В· О”x.
f '(x) = 2x - 2 , F '(3) = 4, О”x = 0, 01. p> Тому О”y ≈ 4.0, 01 = 0, 04. p> Обчислити наближено значення функції в точці x = 17. p> Нехай x0 = 16.
Тоді О”x = X - x0 = 17 - 16 = 1, p>,
.
Таким чином,.
Обчислити ln 0, 99. p> Будемо розглядати це значення як приватне значення функції y = lnx при х = 0, 99.
Покладемо x0 = 1. Тоді О”x = - 0, 01, f (x0) = 0. p>, f '(1) = 1.Поетому f (0, 99) ≈ 0 - 0, 01 = - 0, 01. p> Список літератури
Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М.: Джангар, 2000. - 864 с. p> Гордон В.А., Шмаркова Л.І. Короткий курс математики/Навчальний посібник. - Орел: ОрелГТУ, 2000. - 96 с. p> Демидович Б.П. Збірник завдань і вправ з математичного аналізу: М.: Наука, 1996. p> Мордкович А.Г Алгебра 7-11. 2001-2003р
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту <
