МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Реферат
З дисципліни: Вища математика для економістів
Тема: Застосування диференціальних рівнянь першого порядку в економіці
Роботу виконала:
Студентка групи:
УПЕП 12а
помело Аліна
р.
Введення
Диференціальні рівняння.
Диференційним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків даної функції.
Диференціальне рівняння першого порядку.
Розглянемо питання теорії диференціальних рівнянь на прикладі рівнянь першого порядку, розв'язаних відносно похідної, тобто таких, які допускають представлення у вигляді
(1.1)
де f - деяка функція декількох змінних.
Теорема існування та єдиності розв'язку диференціального рівняння. Нехай у диференціальному рівнянні (1.1) функція і її приватна похідна неперервні на відкритій множині Г координатної площині Оху. Тоді:
. Для всякої точки безлічі Г знайдеться рішення y=y (x) рівняння (1.1) , що задовольняє умові y ( );
2.Якщо два рішення y= (x) і y= (x) рівняння (1.1) збігаються хоча б для одного значення x=, т.е . якщо то ці рішення збігаються для всіх тих значень змінної х, для яких вони визначені. Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлено у вигляді
g (y) (1.2)
або у вигляді
M (x) N (y) dx + P (x) Q (y) dy=0, (1.3)
де, M (x), P (x) - деякі функції змінної х , g (y), N (y) , Q (y) - функції змінної у.
(рис.1)
1. Диференціальні рівняння із перемінними
Для вирішення такого рівняння його слід перетворити до вигляду, в якому диференціал і функції змінної х опиняться в одній частині рівності, а змінної у - в іншій. Потім проинтегрировать обидві частини отриманого рівності. Наприклад з (1.2) випливає, що=і =. Виконуючи інтегрування, приходимо до рішення рівняння (1.2)
Приклад 1. Вирішити рівняння dx=xydy.
Рішення. Розділивши ліву і праву частини рівняння на вираз х
