Кафедра: Вища математика
Реферат
з дисципліни Вища математика
Тема: В«Загальне поняття певного інтеграла, його геометричний та механічний зміст. Необхідна умова інтегровності В»
Тольятті, 2008.
В
Зміст
Введення
Завдання, що призводять до поняття визначеного інтеграла
Певний інтеграл як границя інтегральної суми
Зв'язок між визначеним і невизначеним інтегралами. Формула Ньютона-Лейбніца
Властивості визначеного інтеграла
Геометричний сенс певного інтеграла
Механічний сенс певного інтеграла
Необхідна умова інтегрованості
Список використаної літератури
В
Введення
Інтеграл (Від лат. Integer - цілий), одне з найважливіших понять математики, що виникло в зв'язку з потребою, з одного боку, відшукувати функції по їх похідним (Наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений рухомої точкою, по швидкості цієї точки), а з іншого - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу і т.п. Відповідно до цього розрізняють невизначені і певні інтеграли, обчислення яких є завданням інтегрального обчислення.
Певний інтеграл - одне з основних понять математичного аналізу - є потужним засобом дослідження в математиці, фізиці, механіці та інших дисциплінах.
В
Завдання, призводять до поняття визначеного інтеграла
Задача про пройденому шляху.
Нехай відомий закон зміни миттєвої швидкості v = v (t). Визначимо шлях, пройдений при русі точки за проміжок часу від t = О± до t = ОІ. Рух у загальному випадку передбачається нерівномірним. p> Поступимо наступним чином.
1). Розіб'ємо весь проміжок часу на n довільних інтервалів
t 0 = О± 1 2 <... i -1 i <... t n -1 n = ОІ,
де t i - t i -1 = О”t i . На довільному ділянці [t i -1 , t i ] будемо вважати рух близьким до рівномірному з постійною швидкістю v = v (П„ i ), t i -1 ≤ П„ i ≤ t i . Тоді за час О”t i пройдений шлях наближено дорівнює s i = v (П„ i ) О”t i . Результат справедливий для кожного інтервалу (i = 1, 2, ..., n).
2). Якщо зазначені інтервали досить малі, то весь шлях наближено дорівнює сумі:
В
Ця формула тим точніше, чим дрібніше розбиття даного проміжку часу.
3). Для отримання точної формули шляху перейдемо до межі, збільшуючи число дроблень (n в†’ в€ћ) і нескінченно подрібнюючи самі інтервали. Позначимо О» = О”t i , тоді
В
Задача про кількості речовини, що вступив у реакцію.
Нехай швидкість хімічного перетворення деякої речовини, що бере участь в хімічній реакції, є функція часу v = v (t). Знайти кількість m вступив у реакцію речовини за проміжок часу від t 0 до T. Проробимо послідовно ті ж операції, що і при вирішенні попереднього завдання. В результаті отримаємо:
В
Робота змінної сили.
Нехай матеріальна точка під дією постійної сили F переміщується у напрямку цієї сили. Якщо пройдений шлях дорівнює s, то, як відомо з курсу фізики, робота Р цієї сили F обчислюється по формулою: Р = F S .
Нехай тепер матеріальна точка рухається по осі Ох від точки А (а) до точки B (b) (b> a) під дією змінної сили, спрямованої по Ох і що є функцією від х: F = f (x).
Для знаходження роботи Р в цьому випадку розіб'ємо відрізок [a; b] точками a = x 0 1 <... n = b на n часткових відрізків і покладемо: О”x i = x i - x i -1 , i = 1, 2, ..., n. Найбільшу з цих різниць позначимо через О» = maxО”x i . Якщо ці відрізки досить малі, то без великої помилки на кожному з них силу F можна вважати постійною (рівній f (П„ i )), що дає наближене вираження для роботи
,
де П„ i - одна з точок сегмента [x i -1 , x i ]. Звідси:
В
Задачі про площі криволінійної трапеції.
Нехай на проміжку [a; b] задана функція f (x) ≥ 0. Криволінійної трапецією називається плоска фігура, обмежена зазначеної кривої y = f (x), прямими x = a, x = b і віссю Оx. (Рис. 1). Для обчислення її площі проробимо кілька операцій. br/>В
Рис. 1. br/>
1). Розіб'ємо проміжок [a; b] довільними точками на n частин. Покладемо О”x i = X i - x i ...
