-1 , тобто О”x i є довжина i-го часткового відрізка, а найбільшу з цих довжин позначимо О», (О» = max О”x i ).
2). На кожному відрізку [x i -1 , x i ] візьмемо по довільній точці c i ,
x i -1 i i і обчислимо f (c i ). Побудуємо прямокутник з підставою [x i -1 , x i ] і висотою f (c i ). Його площа дорівнює S i = f (c i ) (x i - x i -1 ). Проробимо це для кожного i = 1, 2, ..., n. p> 3). Площа всій заштрихованої ступінчастою фігури, складеної з прямокутників, дорівнює сумі
В
Площа S криволінійної трапеції буде наближено дорівнює площі ступінчастою фігури:
В
Чим дрібніше відрізки поділу, тим точніше отримана фігура "відображає" криволінійну трапецію.
4). За площа криволінійної трапеції беруть межу, до якого прагнуть площі східчастих фігур, коли довжини відрізків поділу прагнуть до нуля, а їх число необмежено збільшується (n в†’ в€ћ). Таким чином,
В
Певний інтеграл як границя інтегральної суми
Природний хід вирішення кожного з розглянутих конкретних завдань дозволяє встановити ту математичну операцію, з виконанням якої пов'язане отримання відповіді у всіх питаннях такого ж характеру.
Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція y = f (x).
1). Заданий відрізок розділимо на n проміжків (Рівних або нерівних) точками
br/>
причому для всякого індексу i, приймаючого цілі значення від 1 до n, має місце співвідношення x i -1 i . Висловимо довжину кожного з цих часткових проміжків:
x 1 - x 0 = О”x 1 , x 2 - x 1 = О”x 2 , ..., x n - x n -1 = О”x n . br/>
При цьому позначимо довжину найбільшого з них через О».
2). У кожному з цих проміжків виберемо довільне число Оѕ i так, що x i -1 ≤ Оѕ i ≤ x i ., і по кожному такому числу визначимо відповідне значення функції f (Оѕ i ). Обчислимо для кожного проміжку твір f (Оѕ i ) О”x i .
3). Складемо суму таких творів по всіх n проміжків заданого відрізка:
В
f (Оѕ 1 ) О”x 1 + f (Оѕ 2 ) О”x 2 + f (Оѕ 3 ) О”x 3 + ... + f (Оѕ n ) О”x n =.
Така сума називається інтегральною сумою.
Побудова інтегральної суми полягає в довільному розподілі заданого відрізка [a, b] на часткові і довільному виборі числа Оѕ i на кожному відрізку.
4). Виконується дроблення кожного з наявних відрізків на дрібніші так, що довжина найбільшого з них безмежно зменшується (О» в†’ 0). При цьому інтегральна сума стає змінною величиною, яка має кінцевий межа, якщо задана функція неперервна, а відрізок [a, b] кінцевий.
Ця межа називається визначеним інтегралом від функції f (x) на відрізку [a, b].
Відповідне математичний вираз таке:
В
В
lim = О» в†’ 0
Знак ∫, представляє розтягнуту S (Початкову літеру латинського слова В«SummaВ»), символізує тут нескінченне збільшення числа доданків інтегральної суми. Букви a і b, що вказують кордону відрізка, на якому виконується підсумовування, називаються межами інтегрування.
Таким чином, визначеним інтегралом функції від f (x) в межах від a до b називається межа інтегральної суми вигляду
В
за умови, що довжина найбільшого часткового відрізка прагне до нуля.
З'ясуємо тепер можливість безпосереднього використання операції, яка призвела до поняття певного інтеграла, для вирішення відповідних завдань. Обмежимося при цьому двома прикладами на обчислення площ.
Приклад 1.
Обчислити площа, укладену між прямою y = x, віссю Ox і прямої x = 1.
Рішення. Так як дана пряма перетинається з Ox в початку координат, то відрізок інтегрування тут буде [0, 1].
1). Розбиттям цього відрізка на n рівних між собою частин отримаємо точки поділу з абсциссами:
В
2). У кожному з отриманих n відрізків виберемо праві кінці, тобто
В
Так як f (x) = x, то
В
і доданки інтегральної суми виразяться у вигляді
В
де i - номер елементарного відрізка і приймає значення від 1 до n.
3). Інтегральна сума виразиться у вигляді
В
(тут застосована формула n членів арифметичної прогресії).
4). Знаходимо межа цієї суми при n в†’ в€ћ:
В
Таким чи...
