Зміст
Введення
Інтерполяція многочленами
Методи інтерполяції Лагранжа і Ньютона
Сплайн-апроксимація
Метод найменших квадратів
Поліноми Чебишева
Практичне завдання
Введення
Припустимо, задана функція y (x), це означає, що будь-якому допустимому значенню х зіставлено значення у. Але іноді виявляється, що знайти це значення дуже важко. Наприклад, у (х) може бути визначене як рішення складної задачі, в якій х грає роль параметра або у (х) вимірюється в дорогому експерименті. У цьому випадку можна обчислити невелику таблицю значень функції, але пряме знаходження цієї функції при великому числі значень аргументу буде практично неможливо. Функція у (х) може існувати в яких-небудь фізико-технічних або математичних розрахунках, де її необхідно буде багаторазово обчислювати. У цій ситуації зручно замінити функцію у (х) наближеною формулою, тобто підібрати деяку функцію j (х), яка наближається в деякому сенсі до у (х) і просто обчислюється. Потім при всіх значеннях аргументу вважати, що у (х) "j (х)
Основна частина класичного чисельного аналізу грунтується на наближенні многочленами, тому як з ними легше працювати. Однак для більшості цілей використовуються інші класи функцій.
Вибравши значущі точки і клас функцій, що наближають, нам необхідно ще вибрати одну певну функцію з цього класу за допомогою якогось критерію - Деякої міри наближення або "рівності". До того як почати обчислення, ми повинні вирішити також, яку точність нам треба у відповіді і який критерій ми вибираємо для виміру цієї точності
Все викладене вище можна сформулювати у вигляді чотирьох питань:
Які значущі точки ми будемо використовувати?
Який клас функцій, що наближають буде нами використаний?
Який критерій згоди-"рівності" ми застосуємо?
Яка точність нам необхідна?
Існують три групи функцій, які широко застосовуються в чисельному аналізі. Перша група включає в себе лінійні комбінації функцій 1, х, х 2, ..., х n, що збігається з класом всіх багаточленів ступеня n (або менше). Другий клас - Включає в себе функції cos aix, sin ai x. Цей клас має безпосереднє ставлення до рядів Фур'є і інтегралу Фур'є. Третя група утворена функціями e - Az. Ці функції часто зустрічаються в реальних ситуаціях, до них, наприклад, часто приводять завдання нагромадження й розпаду. Що стосується критерію згоди або "рівності", то класичним критерієм згоди є "точний збіг у значущих - Вузлових точках ". Цей критерій має перевагами простоти теорії та виконання обчислень, але він також має незручність через ігнорування шуму (похибки, виникає при вимірі або обчисленні значень у значущих (вузлових) точках). Інший досить хороший критерій - є "найменші квадрати". Це означає, що сума квадратів відхилень у вузлових точках повинна бути найменшій можливій або, іншими словами, наведена до мінімуму. Цей критерій використовує неточну інформацію, щоб отримати найменшу кількість шуму. Третій критерій безпосередньо пов'язаний з ім'ям Чебишева. Основна ідея його полягає в тому, щоб привести максимальне відхилення до мінімуму. Звичайно, можуть бути можливі й інші критерії
Більш точно відповісти на поставлені нами чотири питання можна лише виходячи з умов і мети кожного завдання в окремо.
Інтерполяція многочленами
Мета завдання про наближення (інтерполяції): дану функцію у (х) необхідно приблизно замінити деякою функцією j (х), властивості якої нам відомі так, щоб відхилення в заданій області було мінімальним. Інтерполяційні формули застосовуються, в першу чергу, при заміні графічно заданої функції аналітичної, а також для інтерполяції в таблицях
Методи інтерполяції Лагранжа і Ньютона
Один з підходів до задачі інтерполяції - метод Лагранжа. Ідея цього методу є в тому, щоб в першу чергу знайти багаточлен, який приймає значення 1 в одній вузловій точці і 0 у всіх інших. Легко можна побачити, що функція є необхідним многочленом ступеня n, який дорівнює 1, якщо x = xj і 0, коли x = x i, i № j. Многочлен L j (x) Ч yj приймає значення yi в i - ї вузловий точці і дорівнює 0 у всіх інших вузлах. З чого випливає, що мається многочлен ступеня n, що проходить через n +1 точку (xi, yi)
Інший підхід - метод Ньютона (метод розділених різниць). Цим методом можна отримати апроксимуючі значення функції без побудови в явному вигляді аппроксимирующего полінома. В результаті чого отримуємо формулу для полінома P n, апроксимуючу функцію f (x):
P (x) = P (x 0) + (xx 0) P (x 0, x 1) + (xx 0) (xx 1) P (x 0, x 1, x 2) + ... +
(xx 0) (xx 1) ... (x - xn) P (x 0, x 1, ..., xn);
розділена різниця 1-го порядку;
розділена різниця 2-го порядку і т. д
Значення P n (x) у вузлах збігаються зі значеннями f (x)
Фа...
