ктично формули Лагранжа і Ньютона породжують один і той же поліном, різниця є тільки в алгоритмі його побудови
Сплайн-апроксимація
Ще один метод апроксимації - сплайн-апроксимація - відрізняється від поліноміальної апроксимації Лагранжем і Ньютоном. Сплайном називається функція, яка разом з кількома похідними неперервна на відрізку [a, b], а на кожному приватному інтервалі цього відрізка [xi, xi +1] окремо є деяким многочленом невисокою ступеня. В даний час використовують кубічний сплайн, тобто на кожному локальному інтервалі функція наближається до полиному третього порядку. Труднощі такий апроксимації пов'язані з низьким ступенем полінома, тому сплайн погано апроксимується з великою першої похідної. Сплайнова інтерполяція може нагадувати лагранжевого тим, що вимагає тільки значення у вузлах, але не її похідних
Метод найменших квадратів
Припустимо, що потрібно замінити деяку величину і робиться n вимірювань, результати яких рівні xi = x + ei (i = 1, 2, ..., n), де ei - це помилки (або шум) вимірів, а х - справжнє значення. Метод найменших квадратів стверджує, що найкраще наближене значення є таке число, для якого мінімальна сума квадратів відхилень від:
Один з найбільш частих випадків застосування цього методу полягає в тому, що наявні n спостережень (xi, yi) (i = 1, 2, ..., n) потрібно наблизити многочленом ступеня m
y (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a m x m
Обчислена крива у (х) в деякому сенсі створює складне безліч значень у i. Метод найменших квадратів стверджує, що слід вибирати багаточлен, який призводить функцію до мінімуму
Для знаходження мінімуму диференціюємо по кожній з невідомих a k. В результаті отримаємо:
Визначник цієї системи відмінний від нуля і завдання має єдине рішення. Але система ступенем не ортогональна, і при великих значеннях n завдання погано обумовлена. p> Цю трудність можна обійти, використовуючи багаточлени ортогональні із заданою вагою на заданій системі точок, але до цього вдаються тільки в задачах, пов'язаних з особливо ретельної статичної обробкою експерименту
Поліноми Чебишева
Критерії згоди даного методу - мінімізація максимальної помилки Поліноми Чебишева визначаються так: T n (x) = cos (n Ч arccos (x))
Наприклад: T 0 (x) = cos (0) = 1, T 1 (x) = cos (q) = x,
T 2 (x) = cos (2 q) = cos 2 (q) - sin 2 (q) = 2x 2 - 1
Можна було б і далі використовувати тригонометричні співвідношення для знаходження поліномів Чебишева будь-якого порядку, але буде краще встановити для них рекурентное співвідношення, що зв'язує T n +1 (x), T n (x) і T n - 1 (x):
T n +1 (x) = cos (nq + q) = cos (nq) cos (q) - sin (nq) sin (Q),
T n-1 (x) = cos (nq - q) = cos (nq) cos (q) - sin (nq) sin (Q)
Складаючи ці нерівності, отримаємо:
T n +1 (x) + T n - 1 (x) = 2 cos (nq) cos (q) = 2 xT n (x);
T n +1 (x) = 2xT n (x) - T n-1 (x)
Застосовуючи отримані формули можна знайти будь поліном Чебишева. Наприклад, Т 3 (x) = 2 xT 2 (x) - T 1 (x). Підставляючи значення T 2 (х) і Т 1 (х) маємо Т 3 (х) = 2х (2х 2 - 1) - х = 4х 3 - 3 х. Графічно перші 10 поліномів Чебишева зображені нижче. Наступні поліноми і раніше коливаються між +1 та - 1, причому період коливання зменшуються з ростом порядку полінома
Перетворення q = arccos (x) можна розглянути як проекцію перетинань півкола з безліччю прямих, мають кути рівні між собою (рис.1). Таким чином, безліч точок xj, на якому система чебишовських многочленів T n (x) ортогональна, є:
(j = 0, 1, 2, ..., N - 1)
Так як T n (x) є, по суті, cos (nq), то вони є равноколеблющіміся функціями, і так як вони многочлени, то мають всі властивості, які мають ортогональні многочлени
Чебишев довів, що з усіх многочленів Р n (x) ступеня n старшим коефіцієнтом 1, у многочлена точна верхня грань абсолютних значень на інтервалі - 1 Р€ x Р€ 1 найменша. Так як верхня грань T n (x) = 1, зазначена верхній грань дорівнює
Практичне завдання
На практиці нам необхідно було вивчити наближення нашої функції поліномами Тейлора.
Як вже згадувалося вище, многочлени Тейлора легко обчислюються, а так само перетворюються на статечні ряди. У цьому нам вдалося переконатися на практиці. p> Нижче наведена таблиця коефіцієнтів перших дванадцяти поліномів Чебишева, а також таблиця коефіцієнтів перед поліномами Чебишева, виражають перші дванадцять ступенів.
Ці дані ми отримали, використовуючи програми на сторінках.
У цих програмах були використані наступні алгоритми: Перетворення коефіцієнтів полінома Чебишева в коефіцієнти традиційного многочлена.
Вводимо коефіцієнти a 0, a 1, ..., an многочлена T (x) і утворимо масив a i. Для j = 2, 3, ..., n і k = n, n - 1, ..., j в перш...
