Аналіз узагальнених функцій
Введення
Існують багато фізичні моделі, які в термінах звичайних функцій не можуть бути описані. Наприклад, розподіл зарядів вздовж прямої зручно задати щільністю цього розподілу. Однак, якщо на прямій існують точки, що несуть заряди, то щільність такого розподілу не може бути описана "звичайної" функцією. Інший приклад пов'язаний з визначенням похідної в точках розриву функції, коли ця операція носить у викладках проміжний характер.
Визначення. Основне простір K m складається з дійсних функцій j (t), званими основними функціями, мають безперервні похідні до порядку m включно, рівними нулю разом з усіма похідними поза кінцевого інтервалу. Простір K m є лінійним.
Приклад. Розглянемо функцію
В
графік якої наведено нижче
j
1
a (a + b)/2 b t
Ця функція належить основного простору K o , оскільки не існують похідні в точках t = a і t = b. Функція (графік дивись нижче)
В
належить простору K m .
j
1
В
a (a + b)/2 b t
Якщо покласти m = ВҐ для основного простору K m , то отримане основний простір позначається К. Нехай
В
тоді, як легко перевірити, j (t) ГЋ K.
1.Обобщенние функції
Визначення. Узагальненої функцією f (t) (заданої на прямий (- ВҐ
(f (t), j (t)), j (t) ГЋ K (K m ).
Всякая інтегрована функція f (t) породжує узагальнену функцію, так як скалярний твір
В
є безперервний лінійний функціонал на K. Такі узагальнені функції називаються регулярними, решта (які не допускають такого подання) - сингулярними. Наведемо приклад сингулярною узагальненої функції. З цією метою розглянемо послідовність функцій
В
Так як інтеграл Пуассона
то (1)
При n В® ВҐ функція d n (t) витягується до безкінечною висоти в точці t = 0, а поза її стає рівною нулю, зберігаючи властивість (1). У звичайному розумінні межа d n (t) при n В® ВҐ не існує. Межа
lim d n (t) = d (t)
n В® ВҐ
можна розглядати як узагальнену функцію, тобто функцію, яка породжується скалярним твором
(2)
де j (t) - основна функція. Скалярний твір (2.) есть лінійний безперервний функціонал на просторі основних функцій (j ГЋ K). Функція d (t) називається дельта - функцією (узагальнена функція Дірака). p> Визначимо твір узагальненої функції f на число l співвідношенням
(l f, j) = l (f, j) (j ГЋ K).
Сума двох узагальнених функцій f 1 , f 2 визначимо наступним чином
(f 1 + f 2 , j) = (f 1 , j) + (f 2 , j) (j ГЋ K).
Після цього безліч узагальнених функцій K 'стає лінійним простором.
Визначення. Дві узагальнені функції f (t), g (t) ГЋ K 'рівні: f (t) = g (t), якщо для будь-якої основний функції j (T)
(f, j) = (g, j) або (f - g, j) = 0.
Узагальнена функція f (t) дорівнює нулю: f = 0, якщо для будь-якої основний функції j (T)
(f, j) = 0.
Приклади узагальнених функцій.
1. Нехай j ГЋ K. Визначимо узагальнену функцію f за допомогою функціоналу
В
Наведена сума конечна, так як основна функція j (t) дорівнює нулю поза деякого кінцевого інтервалу.
2. Введену раніше дельта-функцію d (t) визначимо наступним чином
(d (t), j (t)) = j (0).
В
Виходячи з інтегрального представлення (2), маємо
В
Якщо а (t) - безперервна функція, то
(а (t) d (t), j (t)) = (d (t), а (t) j (t)) = a (o) j (o) (j ГЋ K o ).
Зазначимо, що функціонал f, певний на K співвідношенням
В
не є узагальненою функцією, так як, будучи безперервним функціоналом, він не лине.
3. Узагальнена функція Хевісайда
В
для якої можна записати
В
є регулярної узагальненою функцією.
2.Действія над узагальненими функціями
Введемо в просторі узагальнених функцій K 'операцію граничного переходу. Послідовність сходиться до f, якщо для будь-якого j ГЋ K виконано наступне співвідношення
(f n , j) В® (f, j)
n В® ВҐ
Визначимо тепер для узагальнених функцій операцію диференціювання і розглянемо її влас...
