тивості. Похідна f '(t) регулярної узагальненої функції f (t) дорівнює В В
так як основна функція звертається в нуль поза деякого кінцевого інтервалу. Похідна n - го порядку буде тоді визначатися рівністю
(f ( n ) (t), j (t) = (-1) n (f (t), j ( n ) (t)) ("n ГЋ N, j ГЋ K).
Це співвідношення визначає похідну n - го порядку узагальнених функцій, включаючи і сингулярні функції.
Приклади:
1. Похідна функції Хевісайда дорівнює
В
2. Так як
В
то
В
З визначення дельта - функції слід
t d (t) = 0,
а значить
d (t) + T d '(t) = 0,
2d '(t) + t d'' (t) = 0,
---------------------
nd (n-1) (t) + td (n) (t) = 0.
В
Звідси послідовним винятком отримуємо
t n d ( n ) (t) = (-1) n! d (t) n ГЋ N.
В
Методом математичної індукції можна показати, що
В
Легко також показати, що якщо a (t) ГЋ C m , то
a (t) d (m) (t - t o ) = C o m a (t o ) d (m) (t - t o ) - C 1 m a '(t o ) d (m-1) (t - t o ) - p> - . . . - (-1) C m m a (m) (t o ) d (t - t o ).
Введемо узагальнені функції t + і t - :
В
тоді
В
Можна обчислити похідні
(t + ) '= q (t), (t - )' =-q (-t),
а також
n
2.1 Згортка узагальнених функцій
Нехай f (t) і g (t) - інтегруються на будь-якому кінцевому інтервалі функції. Згортка функцій f (t) і g (t) визначається співвідношенням
В В
якщо тільки інтеграл існує і інтегруємо по будь-якому кінцевому інтервалу змінної х. Рівність двох інтегралів легко перевірити, зробивши заміну z = xt.
Якщо f (t), g (t) - регулярні узагальнені функції і j (х) ГЋ K, то можна записати
В В
Твір f (t) g (u) можна розглядати як пряме твір f (t) х g (u), так що
В
Це співвідношення визначає згортку Обощение функцій f (t), g (t) ГЋ K ', включаючи і сингулярні узагальнені функції.
Згортка узагальнених функцій має такі властивості:
1)
2)
3)
4) якщо то
(3)
Наведемо доказ останнього співвідношення. Дійсно, для j (х) ГЋ K
В В
або
В В
що й доводить співвідношення (3).
Приклади:
1. p> 2. br clear=all>
3. Перетворення Фур'є узагальнених функцій
Нехай основне простір K складається з нескінченно диференційовних комплексно-значних функцій j (t) дійсного змінного t, рівних нулю поза деякого кінцевого інтервалу. Перетворення Фур'є функції j (t) визначається співвідношенням
В
Якщо розглядати s як комплексну змінну s = u + iv, то
В
і y (t) - нескінченно дифференцируемая функція (аналітична) у всій комплексній площині. Інтегруючи по частинах, отримуємо
В
Загалом випадку можна записати
В
Далі, якщо - диференційний поліном з постоянниім коефіцієнтами то
В
Визначення. Перетворення Фур'є узагальненої функції f (t) називається узагальнена функція F [f (t)] = F (s), що визначається співвідношенням
(F [f (t)], F [j (t)]) = 2p (f (t), j (t)),
яке для регулярних функцій називається рівністю Парсеваля.
Властивості перетворення Фур'є
1)
2)
3) F -1 [F [f (t)]] = f (t), де F -1 - оператор, зворотний F, задовольняє співвідношенню p> 4) F [F [f (t)]] = 2pf (-t);
5) br/>
Наведемо перетворення Фур'є від деяких узагальнених функцій. br/>
F [1 (t)] = 2pd (u),
В
F [d (t-a)] = e -iua ,
В В
4. Перетворення Лапласа узагальнених функцій
Визначення. Комплекснозначная функція f (t) дійсного змінного t називається оригіналом, якщо
1) f (t) = 0 для t <0;
2) f (t) - кусково дифференцируема;
3)
Тоді функція називається перетворенням Лапласа функції f (t). Функція L (p) нескінченно диференційовна у півплощині Re p> a і для неї справедливе співвідношення
В
Якщо те
В
де f (+0) - стрибок функції f (t) на початку координат. Зворотне перетворення Лапласа L -1 дорівнює
В
Наведемо перетворення Лапласа деяких функцій:
В
В В В
Визначення. Перетворення Лапл...
