Реферат:
В«Сплайни. Фінітні функції. Основні поняття, призначення. У сплайни Шенберга В»
Введення
Функції, подібні тим, що зараз називають сплайнами були відомі математикам давно, починаючи як мінімум з Ейлера, але їх інтенсивне вивчення почалося, фактично, тільки в середині XX століття. У 1946 році Ісаак Шенберг вперше вжив цей термін в як позначення класу поліноміальних сплайнів. До 1960 років сплайни були в основному інструментом теоретичних досліджень, вони часто з'являлися в якості рішень різних екстремальних та варіаційних задач, особливо в теорії наближень.
Після 1960 року з розвитком обчислювальної техніки почалося використання сплайнів в комп'ютерної графіки та моделюванні, що триває донині.
1. Сплайни
Під сплайном (Від англ. Spline - планка, рейка) зазвичай розуміють кусочно-задану функцію, збігається з функціями більш простої природи на кожному елементі розбиття своєї області визначення.
Класичний сплайн однієї змінної будується так: область визначення розбивається на кінцеве число відрізків, на кожному з яких сплайн збігається з деяким алгебраїчним поліномом. Максимальний ступінь з використаних поліномів називається ступенем сплайна. Різниця між ступенем сплайна і получившейся гладкістю називається дефектом сплайна. Наприклад, безперервна ламана є сплайн ступеня 1 і дефекту 1.
Сплайни мають численні застосування як в математичній теорії, так і в різноманітних обчислювальних додатках. Зокрема, сплайни двох змінних інтенсивно використовуються для завдання поверхонь в різних системах комп'ютерного моделювання.
1.1 Криві Безьє
Криві Безьє або Криві Бернштейна-Безьє були розроблені в 60-х роках XX століття незалежно один від одного П'єром Безьє і Полем де Кастельжо.
Вперше криві були представлені широкій публіці в 1962 році французьким інженером П'єром Безьє, який, розробивши їх незалежно від де Кастельжо, використовував їх для комп'ютерного проектування автомобільних кузовів. Криві були названі ім'ям Безьє, а іменем де Кастельжо названий розроблений ним рекурсивний спосіб визначення кривих (алгоритм де Кастельжо).
Згодом це відкриття стало одним з найважливіших інструментів систем автоматизованого проектування і програм комп'ютерної графіки.
Визначення
Крива Безьє - параметрична крива, що задається виразом:
(1.1)
де - функція компонент векторів опорних вершин, а - базисні функції кривої Безьє, звані також поліномами Бернштейна.
(1.2)
, (1.3)
де n - ступінь полінома, i - порядковий номер опорної вершини
1.2 Види кривих Безьє:
1. Лінійні криві
При n = 1 крива являє собою відрізок прямої лінії, опорні точки P0 і P1 визначають його початок і кінець. Крива задається рівнянням:
(1.4)
2. Квадратичні криві
Квадратична крива Безьє (n = 2) задається 3-ма опорними точками: P0, P1 і P2:
(1.5)
Квадратичні криві Безьє у складі сплайнів використовуються для опису форми символів в шрифтах TrueType і в SWF файлах.
3. Кубічні криві
У параметричної формі кубічна крива Безьє (n = 3) описується таким рівнянням:
(1.6)
Чотири опорні точки P0, P1, P2 і P3, задані в 2-х або 3-вимірному просторі визначають форму кривої.
Лінія бере початок з точки P0 прямуючи до P1 і закінчується в точці P3 підходячи до неї з боку P2. Тобто крива не проходить через точки P1 і P2, вони використовуються для вказівки її напрямки. Довжина відрізка між P0 і P1 визначає, як скоро крива поверне до P3.
В
Рисунок 1 Кубічна крива Безьє
У матричної формі кубічна крива Безьє записується таким чином:
, (1.7)
де називається базисної матрицею Безьє:
(1.8)
У сучасних графічних системах, таких як PostScript, Metafont і GIMP для подання криволінійних форм використовуються сплайни Безьє, складені з кубічних кривих.
1.3 Побудова кривих Безьє
1. Лінійні криві
Параметр t в функції, що описує лінійний випадок кривої Безьє, визначає де саме на відстані від P0 до P1 знаходиться B (t). Наприклад, при t = 0,25 значення функції B (t) відповідає чверті відстані між точками P0 і P1. Параметр t змінюється від 0 до 1, а B (t) описує відрізок прямої між точками P0 і P1.
В
Малюнок 2 Побудова лінійної кривої Безьє
2. Квадратичні криві
Для побудови квадратичних кривих Безьє потрібно виділення двох проміжних точок Q0 і Q1 з умови щоб параметр t змінювався від 0 до 1:
Точка Q0 змінюється від P0 до P1 і описує лінійну криву Безьє.
...
