Точка Q1 змінюється від P1 до P2 і також описує лінійну криву Безьє.
Точка B змінюється від Q0 до Q1 і описує квадратичну криву Безьє.
В
Малюнок 3 Побудова квадратичної кривої Безьє
3. Криві вищих ступенів
Для побудови кривих вищих порядків відповідно потрібно і більше проміжних точок. Для кубічної кривої це проміжні точки Q0, Q1 і Q2, описують лінійні криві, а також точки R0 і R1, які описують квадратичні криві: більш просте рівняння p0q0/p0q1 = q1p1/p1p2 = bq0/q1q0
В
Малюнок 4 Побудова кубічної кривої Безьє
Для кривих четвертого ступеня це будуть точки Q0, Q1, Q2 і Q3, що описують лінійні криві, R0, R1 і R2, які описують квадратичні криві, а також точки S0 і S1, описують кубічні криві Безьє:
В
Малюнок 5 Побудова кривої Безьє 4-ої ступеня
1.4 Застосування в комп'ютерній графіці
Завдяки простоті завдання і маніпуляції, криві Безьє знайшли широке застосування в комп'ютерній графіці для моделювання гладких ліній. Крива цілком лежить в опуклій оболонці своїх опорних точок. Це властивість кривих Безьє з одного сторони значно полегшує завдання знаходження точок перетину кривих (якщо не перетинаються опуклі оболонки опорних точок, то не перетинаються і самі криві), а з іншого боку дозволяє здійснювати інтуїтивно зрозуміле управління параметрами кривої в графічному інтерфейсі за допомогою її опорних точок. Крім того аффінниє перетворення кривої (перенесення, масштабування, обертання та ін) також можуть бути здійснені шляхом застосування відповідних трансформацій до опорних точок.
Найбільше значення мають криві Безьє другого та третього ступенів (квадратичні і кубічні). Криві вищих ступенів при обробці вимагають більшого обсягу обчислень і для практичних цілей використовуються рідше. Для побудови складних за формою ліній окремі криві Безьє можуть бути послідовно з'єднані один з одним у сплайн Безьє. Для того, щоб забезпечити гладкість лінії в місці з'єднання двох кривих, три суміжні опорні точки обох кривих повинні лежати на одній прямій.
1.5 Перетворення квадратичних кривих Безьє в кубічні
Квадратична крива Безьє з координатами перетворюється в кубічну криву Безьє з координатами:
В
2. Фінітні функції
финитности називається функція, визначена для всіх, але відмінна від нуля лише на деякій кінцевій області, званої кінцевим носієм:
(2.1)
Для, визначених на, побудова базису з фінітних функцій здійснюється наступним чином. Спочатку область, в якій вирішується завдання, деяким регулярним чином покривається кінцевим числом перекриваються підобластей, наприклад як на рис. 6.1:
(2.2)
Бажано, щоб тільки для, суміжних с.
підобластю отримали назву кінцеві елементи.
Потім на кожному як на кінцевому носії будуємо базисну финитности функцію. Всі функції таким чином обраного базису лінійно незалежні в силу умов (2.1), (2.2).
Зазначимо переваги такого вибору базису:
а) зважаючи того, що вибираються значно меншими і при цьому скалярні твори
(2.3)
дорівнюють нулю для функцій з непересічними носіями, матриця проекційного рівняння буде сильно розріджена. Більше того, якщо умова виконується тільки для суміжних носіїв, то матриця виходить стрічкової, тобто аналогічна тієї, до якої призводять сіточні методи;
б) можливість вибору специфічних прикордонних кінцевих елементів і пов'язаних з ними фінітних функцій, які враховують особливості кордону, дозволяє ефективно вирішувати крайові задачі на достатньо довільної області.
Основна трудність апроксимації фінітними функціями полягає в сполученні фінітних функцій на кордонах W k таким чином, щоб функція в цілому була неперервна разом зі своїми похідними досить високого порядку.
При такому виборі базису природно поставити питання про його повноті, виборі виду функцій і апроксимаційних властивостях розкладання шуканого рішення
. (2.4)
На всі ці питання частково дає відповідь теорія Стренга-Фікса.
2.2 Теорія апроксимації фінітними функціями Стренга-Фікса
Викладемо основні ідеї цієї теорії для функцій однієї змінної з регулярними кінцевими елементами.
Область покриваємо рівномірної сіткою
, [p] - ціла частина p.
Кінцеві елементи виберемо як відрізки довжиною з центром у точці: . Якщо, суміжні елементи не перетинаються і їх довжина дорівнює: якщо, то довжина перетину дорівнює, довжина дорівнює; при - довжина перетину, довжина дорівнює. Зауважимо, що таке покриття повністю задовольняє умовам (2.2). Всі базисні фінітні функції з носіями виберемо однакової форми як зрушення однієї В«СтандартноїВ» финитной функції:
; (2.5) ...
