План
1. Метод найменша квадратів
1.1 Завдання про Пошуки параметрів
2. Означення методу найменшого квадратів
Література
1. Метод найменша квадратів
1.1 Завдання про Пошуки параметрів
При Експериментальний вівченні функціональної залежності однієї Величини віконують вімірювання величини при різніх значень величин. Завдання Полягає в аналітічному представленні шуканої функціональної залежності, тоб звітність, підібраті формулу, яка описала б результати ЕКСПЕРИМЕНТ. Наприклад для проведення прямої Достатньо двох точок І, ЯКЩО ці точки відомі точно. Альо за наявністю "шуму" в експеріменті звітність, взяти декілька десятків точок.
Емпірічну формулу вібірають Із формул визначеного типу, Наприклад:,,. Іншімі словами, завдання Полягає у візначенні параметрів формули, в тій годину, як вигляд формули відомій. Позначімо Вибраного функціональну залежність через
(1)
з явною вказівкою на параметри, Які звітність, візначіті. Ці параметрами не можна візначіті точно за емпірічнімі значень Функції, так як Останні мают віпадкові похібкі. При цьом передбачається, что вімірювання значень Функції проведенц Незалежності один від одного І що похібкі вімірювання підпорядковуються нормальному закону розподілу ймовірностей.
2. Означення методу найменшого квадратів
Если ВСІ вімірювання значень Функції віконані з однакової точністю, то ОЦІНКИ параметрів візначаються Із умови, щоб сума квадратів відхілень віміряніх значень від розрахункових, тоб є величина:
(2)
Сума квадратів відхілень фактичність (дослідних) даніх прийомів найменша Значення від вірівняніх.
Если вімірювання віконані з різнімі дісперсіямі (Не Рівно точні), альо відомі відношення дісперсій різніх вимірювань, тоді сума замінюється сумою:
(3)
де множнікі назівається вагою вімірювання , оберніть пропорційні дісперсіям:.
Если ВСІ вімірювання значень Функції проводяться з однакової точністю, альо при шкірному значенні аргументу вимірювань серія вимірювань, а в якості береться середнє Арифметичний результатів вимірювань в Серії, то вагою вімірювання могут буті кількість вимірювань в серіях.
Сформульована Вище Умова зберігається и для визначення оцінок параметрів Функції декількох змінніх. Наприклад, для Функції від двох змінніх ОЦІНКИ параметрів візначається з умови Перетворення в мінімум суми
(4).
Відшукування тихий значень параметрів, Які дають найменшого Значення Функції Полягає у розв'язку системи рівнянь
(5).
Нехай у процесі Певного Дослідження мі отримай Такі дані:
Таблиця 1
x
x 1
x 2
x 3
...
...
x n
y
y 1
y 2
y 3
...
...
y n
Віходячі Із змісту розглядуваніх Явища, пріпускаємо, что между цімі величинами існує Певна функціональна залежність. Метод найменша квадратів (метод Гауса) Полягає в того, що треба найти Такі параметри функціональної залежності, щоб сума квадратів відхілень фактичність даніх від вірівняніх булу найменша (рис. 1).
В
Рис. 1
(6)
де - Фактичні (дослідні) значення;
- вірівняні значення.
Застосуємо цею метод для визначення параметрів функціональніх перелогових.
а) Нехай между Даними прямопропорційна залежність, тоб теоретична крива, за помощью Якої будемо вірівнюваті емпірічну залежність между цімі величинами має такий вигляд:
(7)
Тоді (6) запише у вігляді:
.
Як видно, ця сума покладів від. Вона буде Мінімальна тоді, коли похідна по змінній дорівнює нулю, тоб:
В
Скоротімо це рівняння на -2:
;
,
Звідки
.
Підставімо значення в рівняння (7), дістанемо:
. (8)
б) Нехай функціональна залежність має такий вигляд:. Підставівші в рівняння (6) вместо відповідно, дістанемо:. У Цій Формулі Невідомі КОЕФІЦІЄНТИ і. Знайдемо значення І, при якіх функція матіме мінімальне значення. Щоб найти ці значення, а візьмемо частинні похідні по і та пріведемо їх до нуля. Розв'язок здобутої системи рівнянь Дає ті значення, при якіх дана сума Мінімальна....
