Призма і паралелепіпед
В
Зміст
Поняття призми і види призм
Поняття паралелепіпеда
Властивості паралелепіпеда
Додаткові співвідношення між елементами призми
Завдання
Тести
Глосарій
Література
Поняття призми і види призм
Розглянемо два рівних багатокутника і, розташованих у паралельних площинах і так, щоб відрізки, з'єднують відповідні вершини багатокутників, паралельні (рис. 1).
Рис. 1
br/>
Кожен з n чотирикутників
..., (1)
є параллелограммом, оскільки має попарно паралельні протилежні сторони.
Багатогранник, складений із двох рівних багатокутників і, розташованих у паралельних площинах, і n паралелограмів (1), називається призмою.
Багатокутники і називаються підставами, а паралелограми (1) - бічними гранями призми. Відрізки називаються бічними ребрами призми. Ці ребра як протилежні сторони паралелограмів (1), отже прикладених один до одного, рівні і паралельні. Призму з підставами і називають n - вугільної призмою. На малюнку 2 зображені трикутна і шестикутна призми.
Рис. 2
br/>
Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки одного підстави до площині іншого підстави, називається висотою призми.
Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до підстав, то призма називається прямий, в іншому випадку - похилій. Висота прямої призми дорівнює її бічного ребру. p> Пряма призма називається правильною, якщо її заснування - правильні багатокутники. У такої призми все бічні грані - рівні прямокутники. На малюнку 2 зображено правильна шестикутна призма. [1, 62]
Поняття паралелепіпеда
Якщо основа призми є паралелограм, то вона називається параллелепипедом. У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.
На малюнку 3 зображено похилий паралелепіпед, а на малюнку 4 - прямий паралелепіпед.
В
В В
Рис. 3
В
Рис. 4
br/>
Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними. [4, 301]
Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи, називається прямим параллелепипедом. У нього всі бічні грані прямокутники, а підстави паралелограми. Якщо всі грані паралелепіпеда - прямокутники, то його називають прямокутним параллелепипедом. Довжини трьох його ребер, які виходять з однієї вершини, називаються вимірами прямокутного паралелепіпеда.
Прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні, називається кубом. Співвідношення між різними видами паралелепіпеда наведено у схемі: [2, 115]
В
Властивості паралелепіпеда
Теорема:
У паралелепіпеда:
1 ) противолежащие грані рівні і паралельні;
2 ) всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.
Доказ:
1 ) Розглянемо які-небудь дві протилежні грані паралелепіпеда, наприклад, і (рис. 5).
В
В В
Рис. 5
br/>
Оскільки всі грані паралелепіпеда - паралелограми, то пряма AD паралельна прямій ВС, а пряма паралельна прямій. Звідси випливає, що площині розглянутих граней паралельні.
З того, що межі паралелепіпеда - паралелограми, випливає, що АВ,, CD і паралельні і рівні. Звідси зробимо висновок, що грань поєднується паралельним перенесенням уздовж ребра АВ з гранню. Отже, ці грані рівні. p> 2 ) Візьмемо дві діагоналі паралелепіпеда (рис. 5), наприклад, і, і проведемо додаткові прямі і. АВ і відповідно рівні і паралельні ребру DC, тому вони рівні і паралельні між собою; внаслідок цього фігура є паралелограм, у якому прямі і - діагоналі, а в параллелограмме діагоналі діляться в точці перетину навпіл. Аналогічно ми можемо довести, що дві інші діагоналі перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл. Точка перетину кожної пари діагоналей лежить в середині діагоналі. Таким чином, всі чотири...
