діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці О і діляться цією точкою навпіл. Таким чином, точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії. [3, 21]
Теорема:
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.
Доказ:
Це випливає з просторової теореми Піфагора. Якщо - діагональ прямокутного паралелепіпеда, то - її проекції на три попарно перпендикулярні прямі (рис. 6). Отже,. [2, 116]
В
В В
Рис. 6
br clear=ALL>
Зауваження: в прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні.
Додаткові співвідношення між елементами призми
Якщо в похилій призмі бічне ребро утворює однакові кути зі сторонами підстави, які виходять з вершини, то підставу Про висоти лежить на бісектрисі кута (рис. 7).
Доказ:
Рис. 7
br/>
Проведемо і відрізки Згідно з теоремою про три перпендикулярах, маємо і. Прямокутні трикутники і рівні, оскільки мають спільну гіпотенузу і однакові кути (за умовою). Отже, і, звідси Таким чином, точка О рівновіддалена від сторін кута і, отже, лежить на бісектрисі кута. [3, 24]
Завдання
1. Ребро куба дорівнює а. p> Знайдіть:
Діагональ грані: d = a в€љ 2.
Діагональ куба: D = a в€љ 3.
Периметр підстави: P = 4a.
В
2 . Підставою прямої призми є рівнобедрений трикутник, в якому висота проведена до основи дорівнює 8см. Висота призми дорівнює 12см. Знайдіть полною поверхню призми якщо бічна грань що містить основу трикутника - квадрат.
В
Рішення
Площа поверхні призми буде дорівнює сумі площ підстав і сумі площ бічних поверхонь, тобто, де - площа підстави призми, - площа бічної поверхні, містить підставу, - площа бічної поверхні, містить боку рівнобедреного трикутника. (Вони рівні, так як сторони підстави рівні в наслідок того, що трикутник рівнобедрений, а другі сторони рівні висоті призми)
Оскільки бічна грань, містить основу трикутника, є квадратом, то основу трикутника також дорівнює 12 см. (підстава трикутника одночасно є стороною грані).
Таким чином, знаючи висоту і підстава рівнобедреного трикутника можна знайти його інші сторони і площа:
В
Катети, відповідно рівні (у нас висота, що є в трикутник одночасно і медіаною, з кожним з катетів утворює прямокутний трикутник) по теоремі Піфагора:
В
Таким чином:
, <В
3 . У правильної чотирикутної призмі площа основи 144, а висота 14 см. Знайти діагональ призми.
Рішення
Правильний чотирикутник - це квадрат.
Відповідно, сторона підстави буде дорівнює
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми буде дорівнює
Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи і висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, по теоремі Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми буде дорівнює:
Відповідь: 22 см
4 . Розглянемо правильну чотирикутну призму, діагональне перетин якої - квадрат. Через вершину і середини ребер АВ і ВС проведено площину. Знайти площу отриманого перерізу, якщо
Рішення
В
Побудова перерізу видно на малюнку, де К і L - середини сторін АВ і ВС підстави призми, Е і F - точки перетину прямої КL відповідно з продовженнями сторін DA і DC. Перетином є п'ятикутник площа якого можна знайти. Можносначала обчислити площі трикутників і а потім від площі першого трикутника відняти подвоєну площу другого (оскільки трикутники і рівні). Проте в даному випадку простіше скористатися формулою:
В
Проекція п'ятикутника на площину підстави призми є п'ятикутник, площа якого знайдемо, віднімаючи з площі квадрата площа трикутника ВКL:
В
Нехай діагональ ВD підстави перетинає відрізок КL в точці О. Так як і (згідно теоремі про три перпендикулярах), то - лінійний кут двогранного кута КL.
Далі знаходимо:
В
З прямокутного трикутника по теоремі Піфагора маємо:
В
Значить, і
5 . Дана правильна призма:,. Знайти висоту призми. p> Рішення
В
Площа основи
АВ = 2 см.
Периметр підстави Р = 8 см.
Висота призми
6 . Підставою паралелепіпеда служить квадрат. Одна з вершин верхньої основи рівновіддалена від усіх вершин нижнього підстави і знаходиться на відстані b від цього підстави. Сторона основи дорівнює a. Знайдіть повну поверхню паралелепіпеда....
