Знакозмінні і знакозмінні ряди
Зміст
1. Ознака Даламбера
2. Ознака Коші
3. Інтегральний ознака збіжності ряду
4. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца
5. Знакозмінні ряди. Абсолютно і умовно сходяться ряди
Список використаних джерел
1. Ознака Даламбера
Теорема 1 (ознака Даламбера). Нехай дано ряд, де всі> 0.Еслі існує межа
,
то при 0 <1 ряд сходиться, а при> 1 ряд сходиться.
в—„ Нехай існує межа
,
де 0 <1. Візьмемо q таке, що 0, наприклад, для
, знайдеться номер N такий, що для всіх n ≥ N буде виконуватися нерівність
Зокрема, будемо мати
або
Звідки
...............................
Члени ряду
+ + + ...
Чи не перевершують відповідних членів ряду
q + q + Q + ...,
який сходяться як ряд, складений з членів геометричної прогресії зі знаменником q, 0
+ + + ...
сходиться, а значить, сходиться і вихідний ряд.
У разі> 1, починаючи з деякого номери N, буде виконуватися нерівність
> 1, або>> 0.
Отже, 0, і ряд розходиться, оскільки не виконаний необхідний ознака збіжності. в–є
Зауваження. Якщо
1,
Або не існує, то ознака Даламбера відповіді про збіжність або розбіжність ряду не дає.
Прімери. Дослідити на збіжність наступні ряди:
1. . p> в—„ Для даного ряду маємо
,.
Тоді
.
За ознакою Даламбера ряд сходиться. в–є
2. . p> в—„ Маємо
, =;
.
Даний ряд розходиться. в–є
2. Ознака Коші
Теорема 2 (ознака Коші). Нехай дано ряд
,. (1)
Якщо існує кінцевий межа
,
то 1) при ряд сходиться, 2) при ряд розходиться.
в—„ 1) Нехай. Візьмемо число q таке, що. Так як існує межа
,
де, то, починаючи з деякого номера N, буде виконуватися нерівність.
Справді, з певного рівності випливає, що для будь-якого Оµ, в тому числі і для
Оµ =, знайдеться такий номер N, починаючи з якого буде виконуватися нерівність
,
звідки або що теж,
.
Звідси отримуємо
для.
Таким чином, всі члени ряду, починаючи з, менше відповідних членів сходиться ряду. За ознакою порівняння ряд
В
сходиться, а значить сходиться і ряд (1). p> 2) Нехай. Тоді, починаючи з деякого номера N для всіх n> N, буде виконуватися нерівність, або
.
Отже,
В
І ряд (1) розходиться. в–є
Зауваження. Якщо, то ряд (1) може як сходитися, так і розходитися.
Прімери. Дослідити на збіжність наступні ряди:
1. . br/>
в—„ Маємо
,;
.
Ряд сходиться. в–є
2. p> в—„ Тут
,;
В
Ряд сходиться. в–є
3. Інтегральний ознака збіжності ряду
Теорема 3 (інтегральний ознака збіжності). Нехай функція f (x) визначена, безупинна, позитивна і не збільшується на промені. Тоді:
1) числовий ряд сходиться, якщо сходиться невласний інтеграл
; (1) br/>
2) ряд розходиться, якщо розходиться невласний інтеграл (1)
В В
в—„ Візьмемо на графіку функції f (x) точки з абсцисами
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, ..., xn = n
і побудуємо дві ступінчасті фігури, що складаються з виступаючих і входять прямокутників так, як показано рис. 1. Площа Q криволінійної трапеції, обмеженою прямими x = 1, x = n, y = 0 і кривої y = f (x) дорівнює
. br/>
Візьмемо n-ю часткову суму ряду:
S n = f (1) + f (2) + f (3) + ... + F (n),
Тоді площа Q + виступаючої фігури дорівнюватиме
Q + = f (1) + f (2) + f (3) + ... + F (n-1) = S n-1
А площа Q-вхідної фігури дорівнює
Q-= + f (2) + f (3) + ... + f (n) = S n - f (1).
З побудови і властивостей функції f (x) випливає, що
Q-
S n - f (1) <
Так як S n-1
S n - f (1) <
1) Нехай інтеграл (1) сходиться. Тоді існує межа
,
так як
В
(у силу умови f (x)> 0 для, то з нерівності (2) випливає, що
S n ...
