тобто 0 0 для n = 1, 2, .... Тому вона має межу
,
Що означає збіжність ряду.
2) Нехай інтеграл (1) розходиться. Оскільки за умовою
f (x)> 0 для, то
=.
З нерівності
S n ≥, n = 1, 2, ...,
Слід, що
,
тобто ряд розходиться. в–є
Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд
.
в—„ Тут. Відомо, що невласний інтеграл
В
сходиться при p> 1 і розходиться при p ≤ 1. Отже, даний ряд сходиться при p> 1 і розходиться
при p ≤ 1. У Зокрема, при p = 1 отримаємо гармонійний ряд
в–є
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд
.
в—„ У даному випадку функція і
===
= (arctg b-arctg 1) =,
тобто інтеграл
В
сходиться, а значить, сходиться і ряд. в–є
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд
В
в—„ Так як загальний член даного ряду має вигляд, то вибираємо функцію.
Невласний інтеграл
===
== +
розходиться, отже, ряд теж розходиться. в–є
Зауваження. Нижня межа інтегрування в несобственном интеграле
В
можна взяти довільним, наприклад, рівним а, де а ≥ 1 - будь-яке число.
Приклад 4. Дослідити збіжність ряду
,
в—„ Так як загальний член ряду
В
то в якості функції візьмемо
, де x ≥ 4.
Тоді
==
==
=.
Так як невласний інтеграл
В
сходиться, то сходиться і вихідний ряд. в–є
У разі збіжності ряду метод, застосований при доказі інтегрального ознаки збіжності, дозволяє отримати оцінку похибки, що виникає при заміні суми ряду часткової сумою.
Нехай функція f (x) задовольняє умовам теореми 9, ряд
В
сходиться і його сума дорівнює S. Можна показати, що в цьому випадку буде сходитися і невласний інтеграл
.
Користуючись нерівністю
,
оцінимо залишок Rn заданого ряду, Маємо
.
Отже,
В
Таким чином, похибка, одержувана при заміні суми S сходиться ряду
його n-й часткової сумою Sn, вбирається інтеграла. p> Приклад 5. Встановити збіжність ряду
В
і оцінити похибку при заміні його суми S5.
в—„ Тут
=====
У силу інтегрального ознаки ряд сходиться. Позначимо суму цього ряду через S і будемо вважати, що
S ≈ S5. Тоді
S ≈ S5 ==
В
Оцінимо похибка R5. Маємо
в–є
Зауваження. Позначення
В
розуміється так
===
=.
Приклад 6. Оцінити n-й залишок сходиться ряду
В
де p> 1.
в—„ Маємо
== =. в–є
4 Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца
Визначення. Числовий ряд
a1 - a2 + a3 - ... + (- 1) n - 1an + ...,
де всі числа an позитивні, називається Знакозмінні.
Приклад. Ряд
В
є Знакозмінні, а ряд
В
Знакозмінні НЕ є.
Для Знакозмінні рядів має місце наступний ознака збіжності, який носить назву ознаки Лейбніца. p> Теорема 4 (ознака Лейбніца). Нехай у Знакозмінні ряді
a1 - a2 + a3 - ...
числова послідовність {an} убуває,
a1> a2> a3> ... Тоді цей ряд сходиться, причому його сума S позитивна і не перевершує першого члена:
В
в—„ Візьмемо парну часткову суму S2n цього ряду і запишемо її у вигляді
S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) + ... + (a2n-1 - a2n).
З умови теореми випливає, що різниці в дужках є позитивними і, значить, S2n> 0,
причому зі зростанням n часткова сума S2n зростає. Цю суму можна записати
й так:
S2n = a1 - (a2 - a3) - (A4 - a5) - ... - (a2n-2 - a2n-1) - a2n. <В
Тут кожна дужка позитивна, звідки випливає, що
S2n
Отже, послідовність {S2n} монотонно зростає і обмежена. Отже,
вона має межу
,
причому
Для непарної часткової суми S2n +1 матимемо
S2n +1 = S2n + a2n +1 (n = 1, 2, ...). br/>
За доведеним
,
А за умовою теореми
В
Тому існує межа
.
Таким чином, доведено, що
,
тобто даний ряд сходиться. З нерівності випливає, у Зокрема, позитивність суми ряду. в–є
Зауваження. Теорема залишається справедливою в частині збіжності, якщо умова монотонності послідовно...
