Завдання 1.
Перевірити спільність системи рівнянь і в разі спільності вирішити її:
а) за формулами Крамера;
б) за допомогою зворотної матриці (матричним методом);
в) методом Гаусса.
В
Спільність даної системи перевіримо по теоремі Кронекера-Капеллі. За допомогою елементарних перетворень розширену матрицю приведемо до трапецієподібної формі
~.
Отже, (числу невідомих системи). Значить, вихідна система сумісна і має єдине рішення. br/>
а) За формулами Крамера: де
В
.
Знаходимо.
б) За допомогою зворотної матриці де - обернена матриця до, - стовпець правих частин.
.
;;;
;;;
;;.
Рішення системи
,
тобто . br/>
в) Наша система еквівалентна
В
(прямий хід Гаусса зроблений під час перебування рангів матриць і).
Тоді
Завдання 2.
Вирішити однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.
В
За допомогою елементарних перетворень матрицю приведемо до трапецієподібної формі
~.
Отже, 2 <3 і система має нескінченну безліч рішень, що залежать від 3-2 = 1 довільній постійною. Вихідна система еквівалентна
В
Звідки.
Вважаючи (довільної постійної), маємо
,.
Завдання 3.
За координатами точок,, знайти:
а) Модуль вектора
;
.
б) Скалярний добуток векторів і.
В
.
в) Проекцію вектора на вектор.
.
г) Координати точки, що ділить відрізок у відношенні 1:3;. Отже:
В
Завдання 4.
Дано вектори,
c = i - 5j + 7k Необхідно:
а) Знайти модуль векторного добутку.
=;
.
б) Перевірити, чи будуть колінеарні або ортогональні два вектори і.
Умова коллинеарности двох векторів
Т.к. то вектора і неколінеарна.
Умова ортогональності двох векторів
Т.к. то вектора неортогональні.
в) Обчислити змішане твір трьох векторів
.
.
г) Перевірити, чи будуть компланарні три вектори
Вектора компланарні, якщо
З пункту в) отже, ці вектори компланарні.
Завдання 5.
Дано чотири точки
Скласти рівняння:
а) Площини
Рівняння площини по трьох точках має вигляд
, звідки.
б) Прямий
Рівняння прямої по двох точках
звідки
в) Прямий, перпендикулярної до площини.
З рівняння площині випливає, що вектор | | звідки рівняння має вигляд
г) Прямий, паралельної Значить, вектор і рівняння цієї прямої має вигляд
д) Площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої
Вектор перпендикулярний шуканої площини.
Значить, - її рівняння, яке наводиться до виду
е) Обчислити - кута між прямою і площиною.
;;
.
ж) Косинус кута між координатної площиною і площиною.
Вектор а вектор. Тому
.
Завдання 6.
Показати, що пряма паралельна площині
х + 3 у - 2 z + 1 = 0, а пряма х = t + 7, у = t - 2, z = 2 t + 1 лежить в цій площині.
У загальному вигляді рівняння площини має вигляд, а канонічне рівняння прямої:
Параметричне рівняння прямої:
В
Якщо пряма паралельна площині, то
Значить, з умови задачі,. Отже, пряма паралельна площині. p> Якщо пряма лежить у площині, то,
В
Значить, з умови задачі,, Отже, пряма лежить у площині.
Завдання 7.
Скласти рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку перетину прямих 2 х + 5 у - 8 = 0 і 2 х + 3 у + 4 = 0.
Знайдемо точку перетину прямих:
В
Рівняння прямої, що проходить через дві точки і:
рівняння пряма система вектор
В
Тому її рівняння запишемо як воно приводиться до вигляду
