Федеральне агентство з освіти
Московський державний відкритий університет
Чебоксарский політехнічний інститут
Кафедра
Управління та інформатики в технічних системах
Спеціальність 220201
Контрольна робота
по ТАУ
по темі
Метод Гольдфарба
2010
Завдання на контрольну роботу
Використовуючи співвідношення, обчислити параметри періодичних рішень в нелінійній САР (якщо вони є) і визначити їх стійкість.
№ варФамілія, ім'я, отчествоПараметри Тип F (x) Параметри F (x) 41.Цветкова Наталія Веніаміновнаk = 90; Т0 = 0.2 с.IIIс = 20;
m = 0.25;
b = 2.
В якості нелінійного елемента y = F (x) задано III тип - релейна характеристика з гистерезисной петлею.
Рішення
система періодичне регулювання Гольдфарб
Дослідження системи проведемо за методом гармонійного балансу (метод Гольдфарба). Цей метод дозволяє тільки визначити наявність або відсутність незгасаючих коливань в системі, тобто в кінцевому підсумку стійкість системи. p align="justify"> Характеристичне рівняння для нелінійної САР замкнутої системи має вигляд:
(1)
Для графічного рішення характеристичного рівняння його перетворять до вигляду:
або (2)
Якщо на одному і тому ж кресленні і в однакових масштабах побудувати годографи і, то їх перетин означатиме наявність автоколивань; при цьому частоту автоколивань можна отримати з годографа, амплітуду - з годографа. Зручно проводити перевірку системи на наявність автоколивань в наступному порядку:
. Будуємо годограф (годограф Найквіста). p>. Будуємо годограф функції. Передавальна функція може бути представлена ​​у вигляді
, (3)
де функції і, звані коефіцієнтами гармонійної лінеаризації, мають наступний вигляд для нелінійного елемента:
(4)
Підставивши і в (3) остаточно отримаємо:
(5)
Отримаємо рівняння для побудови АФЧХ лінійної частини САР в розімкнутому стані:
(6)
Зробимо заміну
(7)
Помноживши чисельник і знаменник виразу (7) на комплексне число, поєднане знаменника, і відокремлюючи речову і уявну частини, отримаємо рівняння і уявною частотних характеристик:
В
(8)
Переймаючись значеннями w від 0 до? обчислимо і (див. табл. 1.).
Таблиця 1.
w00, 514,5510 90,00090,67892,74429,8290,000-27,000 0,000-4,580 - 9,661-182,628-180,000-0,046 w501002003001000? -0,907-0,225-0,056-0,025-0,0020 -0,006-0, 0010000
Згідно (3), запишемо вираз зворотного амплітудно-фазової характеристики нелінійного елемента, взятої з протилежним знаком:
Функція представляється у вигляді:
(9)
Підставивши в (9) вирази для і і перетворивши отримаємо:
В В
Для заданих чисельних значень b і з складемо таблицю 2. значень і при зміні а від 0 до?.
b = 2, с = 20? (За умовою)
Таблиця 2.
а251050100 0,000-0,057-0,122-0,624-1,250 -0,025-0,025-0,025-0,025-0,025 а5001000500010000? -6,250-12,500-62,500-125,000 -? -0,025-0,025-0,025-0,025-0,025 В
Рис.1.
Для оцінки можливості автоколивань в системі і їх стійкості будуємо за допомогою пакету Maple 7 графіки амплітудно-фазової частотної характеристики лінійної частини системи і зворотної амплітудно-фазової характеристики нелінійного елемента, взятої з протилежним знаком, в координатах Р і Q (рис.1.). br/>В
Розглянемо графік біля нуля, для цього змінимо масштаб, як показано на рис. 2. br/>
Рис. 2.
Розглянемо взаємне положення годографів і:
. Якщо годографи не перетинаються, то в системі виникнення коливань неможливо. p>. Якщо годографи перетинаються в одній точці, то в системі можливі незгасаючі коливання. Параметри автоколивань w0 і а0 визначаються точкою перетину годографів: w0 по і а0 по. p>. Якщо годографи перетинаються в двох точках, то це свідчить про наявність двох режимів автоколивань: з більшою і меншою амплітудою. Режим з більшою амплітудою відповідає граничному циклу стійких коливань, режим з меншою амплітудою існувати не може і тому називається нестійким. p> З нашого графіка ми бачимо, що годографи перетинаються в одній точці, тобто в системі можливі незгасаючі коливання. За допомогою пакету Maple 7 обчислимо параметри періодичних рішень в нелінійній САР. br/>
В
За методом Гольдфарба, якщо рухатися по лінії в напрямку зростання амплітуди а, то точки виходу з контуру, тобто точці перетину годографів, відповідає стійке періодичне рішення.
Використана література
1. Воронов А.А. та ін Основи теорії автоматичного регулювання та керування. Учеб. посібник для вузів. М., В«Вища школаВ», 1977
. Бесекерскій В.А., Попов О.П. Теорія систем автоматичного керування. Вид. 4-е, перераб. і доп. - СПб, Вид-во В«ПрофесіяВ», 2003
. Федоренко А.А., Іванчура В.І. Теорія автоматичного управління: навч. посібник. Красноярськ: ІСЦ КДТУ, 2004
