Реферат
на тему:
Рішення одного нелінійного рівняння
Введення
Ця лабораторна робота включає в себе чотири методу рішення одного нелінійного рівняння.
використовуються методи рішення одного нелінійного рівняння:
Метод половинного поділу.
Метод простої ітерації.
Метод Ньютона.
Метод січних.
Також дана лабораторна робота включає в себе: опис методу, застосування методу до конкретного завдання (аналіз), код програми вирішення перерахованих вище методів на мові програмування Microsoft Visual C + + 6.0.
Опис методу:
Нехай задана функція f (x) дійсного змінного. Потрібно знайти коріння рівняння f (x) = 0 (1) або нулі функції f (x).
Нулі f (x) можуть бути як дійсними, так і комплексними. Тому найбільш точна завдання полягає в знаходженні коренів рівняння (1), розташованих в заданій області комплексній площині. Можна розглядати також задачу знаходження дійсних коренів, розташованих на заданому відрізку.
Задача знаходження коренів рівняння (1) зазвичай вирішується в 2 етапу. На першому етапі вивчається розташування коренів і проводиться їх поділ, тобто виділяються області в комплексній області, що містять тільки один корінь. Тим самим знаходяться деякі початкові наближення для коренів рівняння (1). На другому етапі, використовуючи заданий початкове наближення, будується ітераційний процес, що дозволяє уточнити значення відшукуваного кореня.
Чисельні методи розв'язання нелінійних рівнянь є, як правило, ітераційними методами, які припускають завдання досить близьких до шуканого рішення початкових даних.
Існує безліч методів вирішення даної задачі. Але ми розглянемо найбільш використовувані методи вирішення з пошуку коренів рівняння (1): метод половинного ділення (метод бисекции), метод дотичних (метод Ньютона), метод січних і метод простої ітерації.
Тепер окремо за кожним методом:
1. Метод половинного поділу (метод бисекции)
Більше поширеним методом знаходження коренів нелінійного рівняння є метод розподілу навпіл. Припустимо, що на інтервалі [a, b] розташований лише один корінь x рівняння (1). Тоді f (a) і f (b) мають різні знаки. Нехай для визначення f (a)> 0, f (b) <0. Покладемо x0 = (a + b)/2 і обчислимо f (x0). Якщо f (x0) <0, то шуканий корінь знаходиться на інтервалі [a, x0], якщо ж f (x0)> 0, то x належить [x0, b]. Далі з двох інтервалів [a, x0] і [x0, b] вибираємо той на кордонах, якого функція f (x) має різні знаки, знаходимо точку x1 - середину обраного інтервалу, обчислюємо f (x1) і повторюємо зазначений процес. В результаті отримуємо послідовність інтервалів, що містять шуканий корінь x, причому довжина кожного наступного інтервалу вдвічі менше, ніж попереднього. Процес закінчується, коли довжина знову отриманого інтервалу стане менше наближеною точності (> 0), і в якості кореня x, наближеного приймається середина цього інтервалу.
В
2. Метод дотичних (метод Ньютона)
Нехай початкове наближення x0 відомо. Замінимо f (x) відрізком ряду Тейлора
f (x) ≈ H1 (x) = f (X0) + (x - x0) f '(x0) і за наступне наближення x1 візьмемо корінь рівняння H1 (x) = 0, тобто x1 = x0 - f (x0)/f '(x0).
Взагалі, якщо ітерація xk відома, то наступне наближення xk +1 в методі Ньютона визначається за правилом xk +1 = xk-f (xk)/f '(xk), k = 0, 1, ... (2)
Метод Ньютона називають також методом дотичних, так як нове наближення xk +1 є абсцисою точки перетину дотичної, проведеної в точці (xk, f (xk)) до графіка функції f (x) з віссю Ox.
Особливість методу:
по-перше, метод має квадратичну збіжність, тобто в відміну від лінійних завдань похибка на наступній ітерації пропорційна квадрату похибки на попередній ітерації: xk +1- x = O ((xk-x) ВІ);
по-друге, така швидка збіжність методу Ньютона гарантується лише при дуже хороших, тобто близьких до точного рішення, початкових наближеннях. Якщо початкове наближення вибране невдало, то метод може сходитися повільно, або не зійдеться взагалі.
В
3. Метод січних
Цей метод виходить з методу Ньютона заміною f '(xk) розділеної різницею f (xk) - f (xk-1)/xk-xk-1, обчисленої по відомим значенням xk і xk-1. У результаті отримуємо ітераційний метод, k = 1, 2, ... (3), який на відміну від раніше розглянутих методів є двухшаговим, тобто нове наближення xk +1 визначається двома попередніми итерациями xk і xk-1. У методі необхідно задавати два початкових наближення x0 і x1. p> Геометрична інтерпретація методу січних полягає в наступному. Через точки (xk-1, f (Xk-1)), (xk, f (Xk)) проводиться пряма, абсциса точки перетину цієї прямої з віссю Ox і є новим наближенням xk +1. Інакше кажучи, на відрізку [xk-1, xk] функція f (x) інтерполюється многоч...
