ВЛАСТИВОСТІ багатогранників
Опуклі багатогранники. Теорема Ейлера
У шкільних підручниках геометрії многогранниками зазвичай називаються тіла, поверхні яких складаються з кінцевого числа багатокутників, званих гранями багатогранника. Сторони і вершини цих багатокутників називаються відповідно ребрами і вершинами багатогранника. p align="justify"> Багатогранник називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками містить і з'єднує їх відрізок.
На малюнку 1 наведені приклади опуклих і неопуклих багатогранників.
В
Розглянемо деякі властивості опуклих багатогранників.
Властивість 1. У опуклому многограннике всі грані є опуклими багатокутниками. p align="justify"> Доказ. Нехай F - яка-небудь грань багатогранника M, і A, B - точки, що належать грані F (рис. 2). З умови опуклості багатогранника M, випливає, що відрізок AB цілком міститься в многограннике M. Оскільки цей відрізок лежить у площині багатокутника F, він буде цілком міститися і в цьому багатокутнику, тобто F - опуклий багатокутник. br/>В
Властивість 2. Опуклий багатогранник може бути складений з пірамід із загальною вершиною, підстави яких утворюють поверхню багатогранника. p align="justify"> Доказ. Нехай M - опуклий багатогранник. Візьмемо якусь внутрішню точку S багатогранника M, тобто таку його точку, яка не належить ні однієї грані багатогранника M. З'єднаємо точку S з вершинами багатогранника M відрізками (рис. 3). Зауважимо, що в силу опуклості багатогранника M, всі ці відрізки містяться в M. Розглянемо піраміди з вершиною S, підставами яких є грані багатогранника M. Ці піраміди цілком містяться в M, і всі разом складають багатогранник M.
Властивість 3. Опуклий багатогранник лежить по одну сторону від площини кожної своєї межі. p align="justify"> Доказ. Припустимо гидке, тобто існують точки A і B багатогранника M, що лежать по різні сторони від площини деякої його грані N (рис. 4). Розглянемо піраміди з вершинами в точках A, B, підставами яких є грань N. У силу опуклості багатогранника, ці піраміди цілком в ньому містяться. Це суперечить тому, що N є гранню багатогранника M.
Для опуклих багатогранників має місце властивість, що зв'язує число його вершин, ребер і граней, доведене в 1752 році Леонардом Ейлером, і що отримало назву теореми Ейлера.
Перш ніж його сформулювати розглянемо відомі нам багатогранники і заповнимо наступну таблицю, в якій В - число вершин, Р - ребер і Г - граней даного багатогранника:
Назва многогранникаВРГТреугольная піраміда464Четирехугольная піраміда585Треугольная прізма695Четирехугольная прізма8126n-вугільна пірамідаn +12 nn +1 n-вугільна прізма2n3nn +2 n-вугільна усічена піраміда2n3nn +2
З цієї таблиці безпосередньо видно, що для всіх обраних багатогранників має місце рівність В - Р + Г = 2. Виявляється, що це рівність справедливо не тільки для цих багатогранників, але і для довільного опуклого багатогранника. p align="justify"> Теорема Ейлера. Для будь-якого опуклого багатогранника має місце рівність
В - Р + Г = 2,
де В - число вершин, Р - число ребер і Г - число граней даного багатогранника.
Доказ. Для доказу цієї рівності представимо поверхню даного багатогранника зробленої з еластичного матеріалу. Видалимо (виріжемо) одну з його граней і залишилася поверхню растянем на площині. Отримаємо багатокутник (утворений ребрами віддаленої грані багатогранника), розбитий на більш дрібні багатокутники (утворені іншими гранями багатогранника). p align="justify"> Зауважимо, що багатокутники можна деформувати, збільшувати, зменшувати або навіть викривляти їх боку, аби при цьому не відбувалося розривів сторін. Число вершин, ребер і граней при цьому не зміниться. p align="justify"> Доведемо, що для отриманого розбиття багатокутника на дрібніші багатокутники має місце рівність
(*) У - Р + Г '= 1,
де В - загальне число вершин, Р - загальне число ребер і Г '- число багатокутників, що входять до розбиття. Ясно, що Г '= Г - 1, де Г - число граней даного багатогранника. p align="justify"> Доведемо, що рівність (*) не зміниться, якщо в якому-небудь многоугольнике даного розбиття провести діагональ (рис. 5, а). Дійсно, після проведення такої діагоналі в новому розбитті буде У вершин, Р +1 ребер і кількість багатокутників збільшиться на одиницю. Отже, маємо
В - (Р + 1) + (Г '+1) = В - Р + Г'.
В
Користуючись цією властивістю, пров...
