едемо діагоналі, що розбивають входять багатокутники на трикутники, і для отриманого розбиття покажемо здійснимість рівності (*) (рис. 5, б). Для цього будемо послідовно прибирати зовнішні ребра, зменшуючи кількість трикутників. При цьому можливі два випадки:
а) для видалення трикутника ABC потрібно зняти два ребра, в нашому випадку AB і BC;
б) для видалення трикутника MKN потрібно зняти одне ребро, в нашому випадку MN.
В обох випадках рівність (*) не зміниться. Наприклад, у першому випадку після видалення трикутника граф буде складатися з В - 1 вершин, Р - 2 ребер і Г '- 1 багатокутника:
(В - 1) - (Р + 2) + (Г '- 1) = В - Р + Г'.
Самостійно розгляньте другий випадок.
Таким чином, видалення одного трикутника не змінює рівність (*). Продовжуючи цей процес видалення трикутників, зрештою, ми прийдемо до розбиття, що складається з одного трикутника. Для такого розбиття В = 3, Р = 3, Г '= 1 і, отже, B - Р + Г' = 1. Значить, рівність (*) має місце і для вихідного розбиття, звідки остаточно отримуємо, що для даного розбиття багатокутника справедливо рівність (*). Таким чином, для вихідного опуклого багатогранника справедливо рівність В - Р + Г = 2. p align="justify"> Приклад багатогранника, для якого не виконується співвідношення Ейлера, зображений на малюнку 6. Цей багатогранник має 16 вершин, 32 ребра і 16 граней. Таким чином, для цього багатогранника виконується рівність В - Р + Г = 0. p align="justify"> Використовуючи співвідношення Ейлера, доведемо, наступне властивість опуклих багатогранників.
Властивість 4. У будь-якому опуклому многограннике знайдеться грань з числом ребер меншим або рівним п'яти. p align="justify"> Дійсно, в кожній вершині многогранника сходиться, принаймні, три ребра. Якщо кількість вершин дорівнює В і в кожній з них сходиться три ребра, то загальне число ребер буде більше або дорівнює 3В: 2. Ділити на два потрібно тому, що при такому підрахунку ребер ми кожне ребро порахуємо двічі - один раз, як ребро виходить з однієї його вершини, а другий раз, як ребро, що виходить з другої його вершини. Таким чином, для будь-якого багатогранника має місце нерівність 3В 2Р.
Позначимо через Гn число граней з n ребрами. Тоді Г = Г3 + Г4 + Г5 + Г6 + .... Кожна трикутна грань має три ребра і число трикутних граней одно Г3. Тому загальне число ребер в трикутних гранях одно 3Г3. Аналогічно, загальне число ребер у чотирикутних гранях одно 4Г4 і т. д.
Оскільки кожне ребро багатогранника міститься рівно у двох гранях, то при такому підрахунку ребер, ми кожне ребро порахуємо двічі і, отже, буде мати місце рівність 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + 6Г6 + ....
Скористаємося рівністю 6В - 6Р + 6Г = 12, получающимся множенням обох частин сооотношенія Ейлера на 6. За доведеним вище, має місце нерівність 6В 4Р і, отже, нерівність 6Г - 2Р 12. З іншого боку, 6Г = 6Г3 + 6Г4 + 6Г5 + 6Г6 + ..., 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + 6Г6 + .... Підставляючи ці вирази в нерівність, отримаємо нерівність 3Г3 + 2Г4 + Г5 + 0Г6 - Г7 - ... 12. У лівій частині, починаючи з Г7 стоять негативні числа. Тому для того, щоб вся сума була більше або дорівнює 12 потрібно, щоб хоча б одне з чисел Г3 або Г4 або Г5 було відмінно від нуля, тобто в многограннике існувала грань з відповідним числом ребер.
Вправи
. На малюнку 1 вкажіть опуклі і неопуклі багатогранники. p align="justify"> Відповідь: Опуклі - б), д); неопуклі - а), в), г).
. Наведіть приклад неопуклого багатогранника, у якого всі грані є опуклими багатокутниками. p align="justify"> Відповідь: Малюнок 1, а).
. Чи вірно, що об'єднання опуклих багатогранників є опуклим багатогранником? p align="justify"> Відповідь: Ні.
. Чи може число вершин багатогранника дорівнювати числу його граней? p align="justify"> Відповідь: Так, у тетраедра.
. Встановіть зв'язок між числом плоских кутів П багатогранника і числом його ребер Р.
Відповідь: П = 2Р.
. Гранями опуклого багатогранника є тільки трикутники. Скільки у нього вершин В і граней Г, якщо він має: а) 12 ребер, б) 15 ребер? Наведіть приклади таких багатогранників. p align="justify"> Відповідь: а) У = 6, Г = 8, октаедр, б) У = 7, Г = 10, п'ятикутна Бипирамида.
. З кожної вершини опуклого багатогранника виходить три ребра. Скільки він має вершин В і граней Г, якщо у нього: а) 12 ребер, б) 15 ребер? Намалюйте ці багатогранники. p align="justify"> Відповідь: а) У = 8, Г = 6, куб, б) У = 10, Г = 7, п'ятикут...
