Курсова робота з математики
Нестандартні завдання з математики
Студент: Ігнатьєва Ольга Михайлівна
фізико - Математичний факультет 4 курс
Науковий керівник: Емельченков Євген Петрович
СГПУ
2001
В
1 . Інваріанти
Інваріантом деякого перетворення або системи дій називається величина (або властивість), що залишається постійною при цьому перетворенні.
Нерідко зустрічаються задачі, в яких питається, чи можна в результаті деяких дій отримати той чи інший результат. Основним методом вирішення подібних завдань є знаходження властивості вихідного об'єкта, яке не змінюється після виконання таких дій, - Це і є інваріант. Якщо кінцевий об'єкт завдання не володіє знайденим властивістю, то він, очевидно, не може бути отриманий в результаті цих дій з вихідного об'єкта .
Полуінваріант - величина, що змінюється тільки в одну сторону (Тобто яка може тільки збільшуватися або тільки зменшуватися). Поняття полуінваріанта часто використовується при доказах зупинки процесів.
1. Мається квадратна таблиця 10х10, в клітини якої в послідовному порядку вписані натуральні числа від 1 до 100: у перший рядок - числа від 1 до 10, в другу - від 11 до 20 і т. д. Доведіть, що сума S будь-яких 10 чисел таблиці, з яких ніякі два не варті в одному рядку і ніякі два не варті в одному стовпці, постійна. Знайдіть цю суму. p> Рішення.
Позначимо доданок вихідної суми S з першого рядка через а1, з другий - через 10 + а2, з третьої - через 20 + а3 і т. д., нарешті, з десятої - Через 90 + А10. p> Тут кожне з натуральних чисел а1, а2, ..., А10 укладено в межах від 1 до 10, причому ці числа попарно різні, так як, якщо б, наприклад, а1 = а2, то числа а1 і 10 + а2 стояли б в одному стовпці таблиці. Одержуємо:
S = а1 + (10 + а2) + (20 + а3) + ... + (90 + А10) =
= (10 + 20 + ... + 90) + (а1 + а2 + ... + А10) =
= 450 + (а1 + а2 + ... + А10).
Оскільки числа а1, А2, ..., А10 попарно різні і приймають всі цілі значення від 1 до 10, то кожне з натуральних чисел від 1 до 10 входить в суму а1 + а2 + ... + А10 в якості доданка рівно один раз. Отже,
а1 + а2 + ... + А10 = 1 + 2 +3 + ... + 10 = 55,
S = 450 + 55 = 505.
Сума S і є інваріантом: якщо в ній одні доданки замінити іншими, але так, щоб всі доданки нової суми стояли в таблиці в різних рядках і в різних стовпцях, сума візьме, теж саме значення.
Відповідь: 505.
2. На кожній клітці шахової дошки 8х8 написали вироб-ведення номера рядка, в якій розташована клітка, на номер її шпальти. Вибрали 8 клітин, з яких ніякі дві не варті в одному рядку і ніякі дві не варті в одному стовпці. Доведіть, що...
