твір чисел, написаних в цих клітинах, постійно, і обчисліть його.
3. Аркуш паперу розірвали на 5 шматків, деякі з цих шматків розірвали на 5 частин, а деякі з цих нових частин розірвали ще на 5 частин і т. д. Чи можна таким шляхом отримати 1994 шматка паперу? А 1997? p> Рішення.
При кожному розриванні аркуша або одного шматка паперу на 5 частин загальне число шматків збільшується на 4. Тому число шматків паперу на кожному кроці може мати тільки вид 4k + 1 (k-
натуральне число). Цей вислів і є інваріантом.
Так як 1994 не можна представити у вигляді 4k + 1, то число шматків, рівне 1994, вийти не може, а 1997 = 4k + 1 при k == 499 , Отже, 1997 шматків вийти можуть. p> 4. Є два аркуші картону. Кожен з них розрізали на 4 шматки, деякі з цих шматків розрізали ще на 4 шматки і т. д. Чи можна таким шляхом отримати 50 шматків картону? А 60? p> 5. Кожне натуральне число від 1 до 50000 замінюють числом рівним сумі його цифр. З получившимися цифрами проробляють ту ж операцію, і так чинять доти, поки всі цифри не стануть однозначними. Скільки разів серед цих однозначних чисел зустрінеться кожне з цілих чисел від 0 до 8?
Рішення.
Зазначені однозначні числа в послідовному порядку такі: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, ....
Ця закономірність зберігається і далі. Справді, при заміні натурального числа сумою його цифр залишок від ділення числа на 9 залишається незмінним, тому при переході від кожного натурального числа до наступного залишок від ділення числа на 9 збільшується на 1 або перескакує від 8 до 0. Для того щоб дізнатися, скільки таких груп цифр по 9 цифр у кожній, розділимо 50000 на 9 із залишком: 50000 = вересня 5555 + 5.
Отже, таких груп 5555. Ще одну, неповну групу утворюють останні 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
Відповідь: 1, 2, 3, 4, 5 - за 5556 разів, 6, 7, 8, 0 - 5555 разів. p> 6. На дошці написані числа 1, 2, 3, ..., 125. Дозволяється стерти будь-які два числа і написати замість них залишок від ділення суми цих чисел на 11. Після 124 таких операцій на дошці залишилося одне число. Яке це число? p> 7. Перший член послідовності дорівнює 1, а кожен наступний, починаючи з другого, виходить додатком до попереднього члену суми його цифр. Чи може в цій послідовності зустрітися число 765432?
8. Круг розбитий на 6 рівних секторів, в кожному з яких коштує по одній шашці. Одним ходом дозволяється будь-які дві шашки пересунути в сусідні сектори, причому так, щоб одна шашка рухалася по годинниковою стрілкою, а інша - проти. Чи можна за кілька таких ходів зібрати всі шашки в одному секторі.
9. Круг розбитий на 6 рівних секторів, в яких розставлені цифри 0, 1, 2, 0, 2, 1 (у зазначеному порядку). Дозволяється за один хід одночасно додавати одне і те ж число до двох що стоять поруч числах. Чи можна за кілька таких ходів домогтися того, щоб всі 6 чисел, ...
