Системи лінійних рівнянь і нерівностей
Основні питання лекції: основні поняття та визначення теорії систем рівнянь; система n лінійних рівнянь з n невідомими; метод зворотної матриці; метод Крамера; метод Гауса; теорема Кронекера-Капеллі; система n лінійних рівнянь з m невідомими; однорідні системи лінійних рівнянь; фундаментальна система рішень; структура загального рішення.
Система m лінійних рівнянь з nпеременнимі має вигляд:
В
або
(1)
де a 11 , a 12 , ..., a mn - довільні числа, звані відповідно коефіцієнтами при змінних і b 1 , b 2 , ..., b m - вільними членами рівнянь.
Рішенням системи (1) називається така сукупність nчісел х 1 , х 2 , ... , Х n , при підстановці яких кожне рівняння системи звертається у вірне рівність.
Система рівнянь називається сумісною , якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною , якщо вона не має рішень.
Спільна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має більше одного рішення. p> Запишемо систему (1) у матричній формі. Позначимо:
; В = (b 1 , b 2 , ..., b n ) т ; Х = (x 1 , x 2 , ..., X n ) т
де А-матриця коефіцієнтів при змінних , або матриця системи , X - матриця-стовпець змінних; В - матриця-стовпець вільних членів .
На підставі визначення рівності матриць систему (1) можна записати у вигляді:
А * Х = B (2)
А матриця складається з А, В, Х матриць називається розширеною матрицею:
В
- розширена матриця.
Метод Гауса - метод послідовного виключення змінних - полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильній системі ступеневої (або трикутного) виду, з якій послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться всі інші змінні.
Розглянемо рішення системи (1) m лінійних рівнянь з nпеременнимі в загальному вигляді:
(3)
Якщо m = n, то розглянемо розширену матрицю. Враховуючи праву частину, наведемо дану матрицю до трикутного вигляду:
В В
Ситема лінійних рівнянні соотвествующєє даній матриці запишемо у следуюшем вигляді
(4)
Якщо в даному рівнянні c nn в‰ 0, c n-1n-1 в‰ 0, ... , C 33 в‰ 0, c 22 в‰ 0, a 11 в‰ 0 то, в першу чергу знайдемо
x n , а потім поступово піднімаючись знаходимо остольние рішення - x n-1 , ..., x 3 , x 2 , x 1 .
Формула Крамера
Теорема Крамера. Нехай | A | - визначник матриці системи А, а О” j - визначник матриці, одержуваної з матриці А заміною j-го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді, якщо О” в‰ 0, то система має єдине рішення, яке визначається за формулами:
(5)
Формули (5) отримали назву формул Крамера .
Метод зворотної матриці
Нехай число рівнянь системи (1) дорівнює числу змінних, тобто m = n . Тоді матриця системи є квадратною, а її визначник О” = | A | називається визначником системи .
(1) рівняння можна записати в матричному вигляді
А * Х = B (6)
,,.
Примножуючи ліворуч обидві частини матричного рівності (6) на матрицю А -1 , отримаємо А -1 (АХ) = А -1 У . Так як А -1 (АХ) = (А -1 А) Х = ЕХ = Х, то рішенням системи методом зворотної матриці буде матриця-стовпець
Х = А -1 * B (7).
Система n лінійних рівнянь з n змінними
Рішення системи n лінійних рівнянь з n змінними находять нижче укаженнимі методами:
1) Метод зворотної матриці;
2) Формула Крамера;
3) Метод Гаусса. p> Теорема Кронекера - Капеллі. Система m лінійних рівнянь з n змінними
Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи.
Для спільних систем лінійних рівнянь вірні такі теореми.
1. Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює числу змінних, тобто r = n, то система (1) має єдине рішення.
2. Якщо ранг матриці спільної системи менше числа змінних, тобто r
Системи лінійних однорідних рівнянь
Система mлінейних рівнянь з n змінними називається системою лінійних однороднихуравненій, якщо всі їх вільні члени дорівнюють нулю. Така система має вигляд:
(8)
Система лінійних однорідних рівнянь завжди сумісна, так як вона завжди має, принаймні, нульове (або тривіальне) рішення (0, 0, ...; 0). p> Систему (8) можна записати а вигляді:
А * Х = 0 (9).
Якщо в системі (8) m = n, а її визначник відмінний від нуля, то така система має тільки нульовий рішення, як це випливає з теореми і формул Крамера. Ненульові рішення, отже, можливі лише для таких систем лінійних однорідних рівнянь, в яких число рівнянь менше числа змінних або при їх рівності, коли визначник системи дорівнює нулю.
Інакше: система лінійних однорідних рівнянь має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці коефіцієнтів при змінних менше числа змінних, тобто при r (A)
