Завдання 1. Об'єднання множин. Навести приклади
Рішення:
Поняття множини належить до числа основних, невизначуваних понять математики. Воно не зводиться до інших, більш простих понять. Тому його не можна визначити, а можна лише пояснити, вказуючи синоніми слова В«безлічВ» і наводячи приклади множин: безліч - набір, сукупність, збори яких об'єктів (елементів), що мають спільний для всіх їх характеристичним властивістю. p align="justify"> Об'єднанням АВ множин А і В називається множина, що складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин А чи В.
Символічна запис цього визначення: А В = {х | хА або хВ}.
Тут союз В«абоВ» розуміється в сенсі В«неразделітельного абоВ», тобто не виключається, що х може належати і А і В. Відзначимо, що в такому випадку елемент х, що входить в обидва множини А і В, входить до їх об'єднання тільки один раз (оскільки для безлічі не має сенсу говорити про те, що елемент входить в нього кілька разів).
Пояснимо визначення об'єднання множин за допомогою діаграми Ейлера-Венна:
На діаграмі об'єднання множин А і В виділено штрихуванням.
Якщо безліч А визначається характеристичним властивістю Р (х), а безліч В - характеристичним властивістю Q (х), то А В складається з усіх елементів, що володіють, принаймні, одним з цих властивостей.
Приклади об'єднань двох множин:
) Нехай А = {2; 5; 7}, В = {3, 5, 6}. Тоді А В = {2; 3, 5, 6, 7}. p align="justify">) Нехай А = [-1/4; 2], У = [-2/+3; 7/4]. Тоді А В = [-2/+3; 2]. p align="justify">) Нехай А = {х | х = 8k, k Z}, B = {x | x = 8n-4, n Z}. p align="justify"> Тоді AB = {x | 4m, mZ}.
Операція об'єднання множин може проводитися не тільки над двома множинами. Визначення об'єднання множин можна поширити на випадок будь-якої кількості множин і навіть - на систему множин. Система множин визначається так: якщо кожному елементу б безлічі М відповідає безліч Аб, то сукупність всіх таких множин ми будемо називати системою множин. p align="justify"> Об'єднанням системи множин {Аб} називається безліч, що складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин Аб. При цьому загальні елементи декількох множин не розрізняються. p align="justify"> Таким чином, елемент х тоді і тільки тоді, коли знайдеться такий індекс б 0 М, що х A б0.
У разі, коли М звичайно і складається з чисел 1, 2, ..., n, застосовується запис Якщо M = N, то маємо об'єднання послідовності множин.
Розглянемо ще один приклад: нехай М = (1, 2) і для кожного б є М визначимо безліч Аб = [0; б]; тоді = [0, 2).
З визначення операції об'єднання безпосередньо випливає, що вона коммутативна, тобто А1 A2...
