= A2 А1, і асоціативна, тобто (А1 A2) А3 = А1 (A2 А3). p> C допомогою діаграм показати справедливість твердження:
Доказ тотожності двох множин грунтується на визначенні рівності двох множин: A = B, якщо A? B і B? A. Береться будь-який елемент x, що належить лівій частині рівності, і показується, що він входить в праву частину, а потім навпаки. p> Ці властивості випливають з визначення. Дійсно, нехай x, тоді х і х, отже, x
В
Графічне рішення справедливості твердження
Завдання 2. Перестановки. Число перестановок. Навести приклади
Рішення:
Перестановки - різні впорядковані множини, які відрізняються лише порядком елементів (тобто можуть бути отримані з того ж самого безлічі).
Перестановки без повторень - різні упорядкування даного n-множини, що відрізняються один від одного лише порядком входять до них елементів.
Позначається як Pn (від фр. "permutation" - перестановка) Число перестановок з n елементів по k обчислюється таким чином:
= n! br/>
Доказ:
Будемо послідовно вибирати елементи даної множини і розміщувати їх у певному порядку на n місцях. На перше місце можна помістити будь-який з n елементів, на друге будь з решти, тобто (N-1) елементів і т.д. За правилом твори отримаємо: .
Приклад: Скількома способами можна розташувати на шаховій дошці 8 тур так, щоб вони не могли бити один одного?
Ясно, що при такому розташуванні на кожній горизонталі і кожної вертикалі варто з однієї човні. Візьмемо одне з цих розташувань і позначимо через номер зайнятого поля на першій горизонталі, через - на другий горизонталі, ..., через - на восьмий горизонталі. Тоді буде деякою перестановкою з чисел 1, 2, ..., 8 (ясно, що серед чисел немає жодної пари однакових , бо інакше дві тури потрапили б на одну і ту ж вертикаль).
Зворотно, якщо - деяка перестановка чисел 1, 2, ..., 8, то їй відповідає деякий розташування ладей, при якому вони не можуть бити один одного. Наприклад, на малюнку зображено розташування ладей, відповідних перестановці 7 5 4 6 1 3 2 8.Так чином, число шуканих розташувань ладей дорівнює числу перестановок чисел 1, 2, ..., 8, тобто Р (8). Але . Значить лодії можна розташувати потрібним чином 40320 способами.
Скільки можна скласти всіляких перестановок з n елементів, в яких дані два елементи стоять поруч?
Визначимо число перестановок, в яких дані елементи (для визначеності a і b) стоять поруч: a на першому місці, b на другом...
