Тема 1. Система лінійних рівнянь
У загальному випадку система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд
(1)
Через позначені невідомі, що підлягають визначенню, величини, звані коефіцієнтами системи, і величини, звані вільними членами, вважаються відомими. Рішенням системи (1) називають таку сукупність чисел, яка при підстановці в систему (1) на місце невідомих звертає всі рівняння системи в тотожності. Система рівнянь (1) або не має рішення, або має єдине рішення, або має незліченну безліч рішень. Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо рішення однієї з них є рішенням інший і навпаки. Коефіцієнти системи утворюють матрицю, яку називають основною матрицею системи
.
Якщо, то матриця є квадратною і її визначник називається визначником системи. Якщо визначник квадратної системи рівнянь то система має єдине рішення, яке визначається за формулами, званих формулами Крамера:
В
Тут - визначник системи, визначник матриці, одержуваної з матриці заміною го шпальти стовпцем її вільних членів.
Приклад 1. Вирішити систему лінійних рівнянь
В
Рішення. Знайдемо визначник системи
=
В
Далі обчислимо визначник, замінивши перший стовпець матриці системи на стовпець вільних членів
В
Аналогічно знаходимо визначники:
В
Звідси за формулами Крамера знаходимо рішення системи
В
Загальну систему лінійних рівнянь виду (1) можна вирішити методом Гауса - Методом послідовного виключення невідомих. Виняток невідомих методом Гаусса зручно виконувати, здійснюючи перетворення не з самими рівняннями, а з матрицею їх коефіцієнтів, до якої праворуч доданий стовпець вільних членів
В
Отриману матрицю називають розширеною матрицею системи.
Елементарними перетвореннями рядків матриці називають:
Множення всіх елементів рядка на число, не рівне нулю.
Перестановка рядків матриці.
Додаток до елементів рядка відповідних елементів іншого рядка, помножених на загальне довільне число.
Метод Гаусса полягає в тому, щоб за допомогою елементарних перетворень рядків основну матрицю системи привести до східчастого (або трикутного) виду. Якщо повернутися до рівнянь, то це означає, що невідома міститься тільки в першому рівнянні, невідома - тільки в першому і другому рівнянні і т. д. Таким чином, невідомі системи частково виключаються з вихідних рівнянь системи, а отримана нова система рівнянь є еквівалентною вихідній системі. Розглянемо рішення методом Гаусса на прикладах.
Приклад 2. Вирішити систему рівнянь
(2)
Рішення. Розширена матриця системи має вигляд
(3)
Поміняємо місцями першу і другу рядок в матриці (3), щоб отримати
(у цьому випадку спрощуються наступні обчислення). br/>
~ (4)
Символ "~" позначає еквівалентність матриць. Помножимо першу рядок отриманої матриці (4) на число (-3) і додамо відповідно до елементам другого рядка, далі перший рядок матриці (4) помножимо на число (-5) і додамо до елементів третього рядка цієї матриці. В результаті отримаємо матрицю, якій відповідає система рівнянь, що містить невідому тільки в першому рівнянні
~. (5)
Так як в матриці (5), то, множачи другий рядок цієї матриці на число (-5) І додаючи її до третьому рядку, отримаємо основну матрицю трикутного виду. Для спрощення розділимо елементи останнього рядка на число (-11):
~ ~ (6)
Розширеної матриці (6) відповідає наступна система рівнянь, еквівалентна вихідній системі (2)
В
Звідси з третього рівняння отримуємо. Підставляючи знайдене значення в друге рівняння, визначаємо невідому:
В
Нарешті, після підстановки знайдених значень в перше рівняння, знаходимо невідому: Таким чином, рішення системи єдине:
Приклад 3. Вирішити систему рівнянь
(7)
Рішення. Запишемо і перетворимо розширену матрицю системи (7)
~ ~
~ ~ ~
~ ~. br/>
Розширена матриця, отримана на останньому кроці шляхом вирахування з елементів четвертого рядка відповідних елементів третього рядка, містить нульову рядок і має ступінчастий вигляд. Звідси випливає, що вихідною системі рівнянь еквівалентна система з трьох рівнянь з 4 невідомими
В
Невідому перенесемо в праві частини рівнянь
В
Звідси визначаємо
В В
Задаючи змінної довільне значення, знайдемо безліч рішень системи
В
Якщо розширена матриця системи наведена до східчастого увазі, коли в нульовий рядку основної матриці вільний член відмінний від нуля, то система не має рішення. Наприклад, останній рядок має вигляд. Тоді відповідне ...
