Рекомендації та приклади розв'язання задач з математики відповідно до вимог єдиного державного іспиту
1. Геометричний зміст похідної
математичний завдання рішення
У задачі B8 дається графік функції або похідної, за яким потрібно визначити одну з таких величин:
1. Значення похідної в деякій точці x 0 ,
2. Точки максимуму або мінімуму (точки екстремуму),
. Інтервали зростання і спадання функції (інтервали монотонності).
Функції та похідні, представлені в цьому завданні, завжди неперервні, що значно спрощує вирішення. Незважаючи на те, що завдання відноситься до розділу математичного аналізу, вона цілком під силу навіть самим слабким учням, оскільки ніяких глибоких теоретичних знань тут не потрібно. p align="justify"> Для знаходження значення похідної, точок екстремуму і інтервалів монотонності існують прості й універсальні алгоритми - всі вони будуть розглянуті нижче.
Інформація до роздумів
Уважно читайте умову задачі B8, щоб не допускати дурних помилок: іноді трапляються досить об'ємні тексти, але важливих умов, які впливають на хід рішення, там небагато. p align="justify"> Обчислення значення похідної. Метод двох точок
Якщо в задачі дано графік функції f (x), дотична до цього графіку в деякій точці x 0 , і потрібно знайти значення похідної в цій точці, застосовується наступний алгоритм:
1. Знайти на графіку дотичній дві В«адекватніВ» точки: їх координати повинні бути цілочисельними. Позначимо ці точки A (x 1 ; y 1 ) і B (x 2 ; y 2 ). Правильно виписуйте координати - це ключовий момент вирішення, і будь-яка помилка тут призводить до неправильного відповіді.
2. Знаючи координати, легко обчислити приріст аргументу Дx = x 2 ? x 1 і приріст функції Дy = y 2 < span align = "justify">? y 1 .
. Нарешті, знаходимо значення похідної D = Дy/Дx. Іншими словами, треба розділити приріст функції на прирощення аргументу - і це буде відповідь.
Ще раз відзначимо: точки A і B треба шукати саме на дотичній, а не на графіку функції f (x), як це часто трапляється. Дотична обов'язково буде містити хоча б дві такі точки - інакше завдання складена некоректно. p align="justify"> В· Задача. На малюнку зображено графік функції y = f (x) і дотична до нього в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f (x) в точці x 0 .
В
Рішення
Розглянемо точки A (? 3, 2) і B (? 1; 6) і знайдемо прирощення: Дx = x 2 ? x 1 =? 1? (? 3) = 2; Дy = y 2 ? y 1 = 6? 2 = 4.
Знайдемо значення похідної: D = Дy/Дx = 4/2 = 2.
Відповідь: 2
Задача
На малюнку зображено графік функції y = f (x) і дотична до нього в точці з абсцисою x 0 . Знайдіть значення похідної функції f (x) в точці x 0 .
В
Рішення
Розглянемо точки A (0, 3) і B (3, 0), знайдемо прирощення:
Дx = x 2 ? x 1 = 3? 0 = 3;
Дy = y 2 ? y
