Про доведенні теореми Ферма
І.Г. ГУРШЕВ
Санкт-Петербург
Видавництво В«ЗНАК 'В»
ББК 26.23
Гуршев І.Г.
Про доведенні теореми Ферма. - СПб.: Видавництво В«ЗНАК 'В», 2012. - 8 c. p align="justify"> У роботі наведені перетворення рівняння x n + y n = z n , що дозволяють отримати квадратне рівняння. Показано, що вищеназване рівність для трьох дійсних різних цілих позитивних чисел не виконується.
Бібл.5
ISBN 978-5-91638-054-5
В© І.Г. Гуршев, 2012
В© Видавництво В«ЗНАК 'В», набір, макетування, 2012
Історія докази знаменитої теореми Ферма в популярній формі викладена в книзі С. Сінгха [1]. У книзі П. Рібенбойма [2] з'єднані строгість математичних результатів і історичний виклад більш ніж трьохсотлітньої історії пошуку доведення теореми Ферма. Теорема стверджує, що рівняння при наявність цілого позитивного (), не можуть задовольняти ніякі цілі позитивні числа x, y, z [3]. p> У роботі А.Я. Хінчина [3] не тільки даються відомості з історії доведення цієї теореми, але і приділяється увагу методу, яким міг користуватися П. Ферма при доведенні теореми. Зазначимо, що в згаданих роботах наводиться значна кількість літературних джерел. p> Розглянемо окремий випадок згаданого співвідношення при. Припустимо, що для різних цілих позитивних чисел x, y, z (,,,,,,,,) виконується наступна рівність
теорема ферма рівність рівняння
. (1)
Так як, то уявімо рівняння (1) наступним чином
(а), (б), (2)
,.
При цьому припускаємо, що представлені числа x, y, z попарно взаємно прості. Якщо ж x, y, z мають спільні дільники, то їх можна попередньо спростити за рахунок скорочення загальних дільників. p> Розглянемо більш докладно рівність (2а), в якому сума дробів дорівнює одиниці. Значить, кожна з дробів менше одиниці, тобто,. Так як нерівності однакового сенсу можна почленно складати [5], то з останніх нерівностей випливає, що. Проводячи перетворення третіх ступенів у рівнянні (2б), отримаємо
. (3)
Подальші міркування будемо проводити згідно роботі [4]. Величини, є позитивними дробами, тобто є позитивними раціональними числами. Сума є раціональне позитивне число, так як,, то є. Позитивне раціональне число можна представити у вигляді нескоротного дробу, де a і b - натуральні взаємно прості числа, тобто. Об'єднуючи вищенаведені міркування, одержимо наступні нерівності:,. Другий множник у рівності (3) є позитивним, так як може бути представлений у такому вигляді. Тоді маємо і звідси. Рівність (3) може бути представлено у вигляді системи рівнянь
(а), (б). (4)
Зазначимо, що, помноживши ліві і праві частини рівностей (4а) і (4б) один на одного, отримаємо рівність (3). Із системи рівнянь (4) знаходимо і, підставляючи в рівність (4б), отримуємо таке рівняння
(5)
Розглянемо слідства з рівняння (5). p> Припустимо, що рівняння (5) має коріння,, які є цілими числами, і нехай. Підставивши в рівняння (5), отримаємо таку рівність
. (6)
Припустимо, що m - дробове число. Тоді в рівності (6) праворуч стоїть дробове число, а зліва знаходиться ціле число. Але рівність цілого і дробового чисел неможливо. Значить, рівняння (5) не має коренів у вигляді цілих чисел. Раніше зазначалося, що змінна m підпорядковується неравенствам. У цьому інтервалі чисел мається ціле число рівне одиниці, і воно може бути представлено у вигляді нескоротного дробу, тобто. У цьому випадку рівність (5) приймає такий вигляд:. p> Якщо,, то, так як, маємо y = 0. У випадку маємо,. p> При отримуємо y = z. У підсумку знаходимо: а) y = 0, б) y = z. За допомогою рівності (4а) отримуємо значення величини x, а саме: а), x = z, б), x = 0. p> Підставляючи ці значення x, y, z в рівняння (1) відзначаємо, що знайдені величини,, а також x = 0, y = z, будучи цілими числами, задовольняють рівняння (1). Однак ці значення не задовольняють умовам завдання. p> Таким чином, рівність (1) для трьох дійсних цілих позитивних чисел не виконується.
Розглянемо загальний випадок, тобто припустимо, що для різних цілих позитивних чисел виконується рівність
,,. (7)
При цьому припускаємо, що числа x, y, z попарно не мають спільних дільників.
Перетворимо рівностей (7) наступним чином
(а),...
