Задача 1
Вирішити графічним методом задачу лінійного програмування:
а) знайти область допустимих значень (багатокутник рішень);
б) знайти оптимум цільової функції.
max і min Z = 2x 1 + 4x 2
x 1 + 3x 2 < span align = "justify"> 6
x 1 + 5x 2 < span align = "justify"> 5
x 1 + x 2 < span align = "justify"> 6
x 1 0, x 2 0
Прямі обмеження x 1 0, x 2 0 означають, що область рішень лежатиме в першій чверті декартової системи координат (рис. 1).
В
. Безліч рішень кожного не суворого нерівності - об'єднання рішень рівняння і строгої нерівності. Задані рівняння прямих, для побудови кожної прямої достатньо двох точок. Зручно будувати прямі по точках перетину їх з осями координат (коли одна з координат дорівнює нулю). p align="justify"> Знайдемо точки перетину прямих з осями координат:
В
Якщо в довільно взятої точці, яка не належить прямій, нерівність виконується, то воно виконується і в усіх точках тієї напівплощині, якій належить контрольна крапка, і не виконується в усіх точках інший напівплощині. В якості такої точки зручно брати початок координат. Безлічі рішень 3-го нерівності - напівплощина, що лежить нижче побудованої III-й прямий. Це з'ясуємо, взявши контрольну точку, наприклад, (0, 0): 2 * 0 +1 * 0 = 0 <6. Безлічі рішень 1-го і 2-го нерівностей - напівплощині, що лежать вище побудованих відповідно I-й і II-й прямих. Це з'ясуємо, взявши контрольну точку, наприклад, (0, 0): 2 * 0 +3 * 0 = 0> 6, 1 * 0 +5 * 0 = 0> 5. Додавши прямі обмеження, отримаємо багатокутник рішень (заштрихований), позначимо вершини отриманого багатокутника рішень ABCD. p align="justify"> Координати цих вершин є допустимими рішеннями даної задачі лінійного програмування. Їх можна визначити, вирішуючи систему рівнянь двох пересічних відповідних прямих. p align="justify"> Наприклад, точка В - точка перетину II і III прямих:
В
