Сімметpія щодо окpужності
С.А. Ануфрієнка
Сімметpія, як би шиpоко або вузько ми ні розуміли це слово, є ідея, за допомогою котоpой людина протягом століть намагався пояснити і створити поpядок, кpасоту і совеpшенство. p> Геpман Вейль
Введення
З часом помічаєш, як несхожі один на одного шляхи, що ведуть до вирішення красивих геометричних проблем. Нескінченність можливих напрямків пошуку багатьох людей приводить в трепет, але одночасно дає хорошу надію відшукати свою власну дорогу в геометричному лабіринті. У кожному разі відкриття методу, що дозволяє вирішити цілий ряд складних завдань, є подією великої рідкості. Про один з таких методів і піде мова в цій статті. Ми починаємо з перерахування деяких класичних проблем, вирішення яких будуть приведені пізніше. p> A. Чотири кола w1, w2, w3 і w4 розташовані таким чином, що wi стосується wi +1 для i <4, а w4 стосується w1. Утворюються чотири точки дотику. Довести, що знайдеться коло, що проходить через всі ці точки. p> B. Розділити за допомогою циркуля даний відрізок [AB] на n рівних частин (n ГЋ N). p> C. Тільки за допомогою циркуля знайти центр даної окружності. p> D. Дано точки A, B, C, D та коло w. Тільки за допомогою циркуля знайти перетин прямих (AB) і (CD), а також точки перетину прямої (AB) з колом w (задачі геометрії Мора-Маськероні). p> E. Побудувати коло, що проходить через дві дані точки A і B і стосується даної кола w1. p> F. Побудувати коло, що проходить через дану точку і що стосується двох даних кіл. p> G. Побудувати коло, що стосується трьох даних кіл (завдання Аполлонія). p> H. Для двох різних точок A і B і позитивного числа k знайти геометричне місце точок X, для яких відношення | XA |/| XB | одно k В№ 1 (окружність Аполлонія). p> I. Для довільного трикутника через r, R і d позначимо відповідно радіуси вписаного та описаного кіл і відстань між їх центрами. Довести, що d2 = R2-2Rr (формула Ейлера). h2> Інверсія і її властивості
У 1831 році Л. Дж Магнус вперше став розглядати перетворення площини, яке отримало назву симетрії щодо кола або інверсії (від лат. inversio - звернення). Під інверсією площині a щодо кола w (O, R) з центром у точці O і радіусом R розуміють таке перетворення безлічі a {O}, при якому кожній точці A ГЋ a {O} ставиться у відповідність така точка A Вў, що A Вў лежить на промені [OA) і | OA | В· | OA Вў | = R2 (далі будемо використовувати позначення invOR (A) = A Вў). Зауважимо відразу, що інверсія не визначена в точці O, але іноді буває корисно додати до площини одну нескінченно віддалену точку, тобто розглянути безліч aГ€ {ВҐ} і при цьому вважати, що invOR (O) = ВҐ і invOR (ВҐ) = O. p> На рис. 1 зазначено спосіб побудови образу точки A при інверсії щодо кола w = w (O, R). Для цього проводять перпендикуляр (AB) до прямого (OA) і з точки перетину wГ‡ (AB) проводять дотичну до кола w. З подоби трикутників DOAB і DOBA Вў отримуємо відношення | OA |/| OB | = | OB |/| OA Вў | або
...
