| OA | В· | OA Вў | = | OB | 2 = R2. Отже invOR (A) = A Вў. p>
Рис. 1
На рис. 2 побудова образу виконано тільки за допомогою циркуля (у припущенні, що | OA |> R/2). Для цього достатньо провести коло
w (A, | OA |) і для двох точок перетину w (O, R) Г‡w (A, | OA |) побудувати рівні окружності w (B, R) і w (C, R). Друга точка перетину w (B, R) Г‡w (C, R), відмінна від точки O, є шуканої. Для доказу використовуємо подобу рівнобедрених трикутників DOBA Вў і DOBA. Спочатку отримуємо | OA Вў |/| OB | = | OB |/| OA |, а потім, необхідне | OA | В· | OA Вў | = | OB | 2 = R2. Якщо ж | OA | ВЈ R/2, то спочатку збільшують відрізок [OA] в n разів до відрізка [OB] (подвоєння відрізка показано на рис. 3 - послідовно відкладають радіус | OA | на окружності w (A, | OA |) і використовують властивість правильного вписаного шестикутника), після цього знаходять B Вў = invOR (B) і знову збільшують (а не зменшують!) відрізок [OB Вў] у n разів до відрізка [OC]. Можна довести, що C = invOR (A). p>
Рис. 2 Рис. 3
З численних властивостей інверсії розглянемо лише наступні. Нехай
A Вў = invOR (A) і B Вў = invOR (B). p> I. Якщо A В№ B, то A Вў В№ B Вў. p> Затвердження вимагає перевірки тільки коли промені [OA) і [OB) збігаються. У цьому випадку | OA | В№ | OB | і тому | OA Вў | В№ | OB Вў |. Приходимо до нерівності A Вў В№ B Вў. p> II. Всі точки кола w (O, R) при інверсії invOR залишаються нерухомими. Внутрішні точки кола з кордоном w (O, R) переходять у зовнішні, а зовнішні - у внутрішні. p> Перша частина затвердження очевидна, а друга випливає з зауваження: якщо
| OA | R. p> III. Якщо A Вў = invOR (A), то A = invOR (A Вў). Для довільних фігур F і F Вў з умови F Вў = invOR (F) також слід F ​​= invOR (F Вў). p> IV. Трикутники DAOB і DA Вў OB Вў подібні. При цьому ГђOBA = ГђOA Вў B Вў. p> Досить зауважити, що ці трикутники мають загальний кут, а з рівності | OA | В· | OA Вў | = R2 = | OB | В· | OB Вў | треба рівність відносин | OA |/| OB Вў | = | OB |/| OA Вў |. Зверніть увагу, що на відміну від подібності, пропорційність пов'язує сторони [OA] і [OB Вў], [OB] і [OA Вў], а не [OA] і [OA Вў], [OB] і [OB Вў]. З подоби отримуємо ГђOBA = ГђOA Вў B Вў. p> V. p> | A Вў B Вў | = | AB |
| OA | В· | OB | В· R2.
Дійсно, по властивості IV маємо
| A Вў B Вў | = | AB | В· | OA Вў |
| OB | = | AB |
| OA | В· | OB | В· R2.
VI. Пряма a, проходить через центр інверсії, відображається в себе. Якщо ж O ГЏ a і A - підстава перпендикуляра з точки O на пряму a (рис. 4), то чином прямий a буде окружність w1, побудована на відрізку [OA Вў] як на діаметрі (A Вў = invOR (A)). p>
Рис. 4
Для доказу цієї властивості розглянемо довільну точку B прямий a. По властивості IV ГђOB Вў A Вў = ГђOAB = 90 В°. Отже точка B Вў лежить на колі з діаметром [OA Вў]. Подив від такого несподіваного дії інверсії на д...
