зовнішньому вигляду.
Приклади:
1. - Куб раціональної функції R (x) = 3x 2 , яка при раціональному x є раціональним числом. Отже, рівняння нерозв'язне в раціональних числах.
2. - Куб раціональної функції R (x) = нерозв'язно в раціональних числах.
3. - Куб раціонального числа 3, звідси нерозв'язно в раціональних числах
4. - Куб раціональної функції R (x, y) = не розв'язна в раціональних числах
5. - Куб раціональної функції R (x) = х 37 => рівняння не вирішуване в раціональних числах.
Отже, система рівнянь нерозв'язна в ненульових раціональних числах x, y, z, де R - раціональне число (R в‰ 0).
Задача 2
Затвердження 1
Нехай р 1 , р 2 , р 3 і р 4 є раціональними ненульовими числами, причому (1). Тоді твір не може рівним ні, тобто не може виконуватися співвідношення
(2)
де = 1, 2, 3, 4 і якщо - раціональне число. br/>
Доказ
Покладемо . Очевидно, x, y і z - це раціональні ненульові числа, так як раціональними ненульовими числами є р 1 , р 2 , р 3 . Так як р 1 , р 2 , р 3 в (1) і (2) рівноправні, то за в (2) ми можемо прийняти будь-яке з них, тобто = 1, 2, 3. Нехай для визначеності (3), тоді р 4 на підставі (1) приймає вигляд:
(4)
Таким чином, заміна р 1 , р 2 , р 3 на x, y і z є оборотною (число р 4 в обох випадках є залежною змінної).
Припустимо тепер, що Затвердження 1 невірно, і число
В
Тоді маємо:
(5)
де x, y і z - ненульові раціональні числа, а (5) рівносильне
(6)
Дійсно, можна з рівняння (6) отримати (5):
, (6)
,,
,
(5), що й потрібно було довести.
Позначимо . Тоді (6) прийме вигляд:. Так як x, y і z - раціональні числа, то й числа A, B і C також раціональні числа. Але тоді вони будуть раціональними рішеннями рівняння Ферма 3-го ступеня, яке, як добре відомо, нерозв'язно в раціональних числах. p> Отримане протиріччя доводить наше твердження.
Примітка:
1). Легко зрозуміти, що сумою P 4 в (1) може бути бути будь-яке з доданків (наприклад:), а твір нових членів залишається колишнім, тобто
,
де i може приймати і значення 4, тоді в творі
В
2). . А якщо А = 0, або В = 0? Адже в цьому випадку можуть, напевно, з'явитися і ненульові раціональні числа р 1 , р 2 , р 3, R, що задовольняють умові нашого Твердження! Покажемо, що вони не з'являться.
Випадки, коли А = 0, або В = 0, суперечать нашому твердженням.
Дійсно, якщо, наприклад,
то з В = С
= x = 0 x = 0 х = 0, що суперечить нашому твердженню.
Аналогічні міркування і для В = 0. br/>
Затвердження 2
Нехай є раціональними функціями з раціональними коефіцієнтами, причому для всіх x. Тоді функція ні в однієї раціональної точці x НЕ може бути рівною ні, то Тобто не може виконуватися співвідношення.
Доказ
Дійсно, при кожному фіксованому раціональному x ми отримуємо твердження для раціональних чисел, який сформований в попередньому Затвердження 1, що й потрібно було довести.
Затвердження 3. br/>
Нехай є раціональними функціями з раціональними коефіцієнтами від декількох змінних x, y, z, ..., причому для всіх x, y, z, .... Тоді функція ні в одній з раціональних точок x, y, z, ... не може бути рівній ні
В
то Тобто не може виконуватися співвідношення
В
де i = 1, 2, 3, 4
Доказ
Дійсно, при кожному фіксованому раціональному x, y, z, ... ми отримуємо твердження для раціональних чисел, тобто Затвердження 1, що й потрібно було довести. p> Де і як можна використовувати вищенаведені твердження?
Для аналізу можливості розв'язання деяких рівнянь в раціональних числах практично по зовнішньому вигляду.
Приклади
1. br/>
де x 2 - другий доданок, яке при раціональному x є раціональним числом => рівняння не вирішуване в раціональних числах.
2. br/>
де x - другий доданок, яке при раціональному x - раціональне число. не розв'язна в раціональних числах.
3. br/>
де y - третій доданок, яке при раціональному y - раціональне числа не вирішуване в раціональних числах.
Слідство
Система рівнянь
В
нерозв'язна в раціональних числах, де - змінні (не рівні 0).
Задача 3
Затвердження (n = 3) Рівняння br/...
