Теплофізичний розрахунок кулі
В
Введення
Основною метою даного курсового проекту було: знайти рішення для задачі тепломасопереносу, з використанням різних математичних методів. Для вирішення завдання використовувався пакет MathCAD. Для визначення ефективності та точності вирішення поставленого завдання, отримане рішення аналізується і визначається оптимальний метод знаходження рішення задачі.
В
1. Постановка завдання
Дан куля 2R, який знаходиться в тепловій рівновазі з навколишнім середовищем, тобто має температуру, рівну температурі навколишнього середовища T 0 . У початковий момент часу Середа нагрівається з постійною швидкістю b (град/сек), тобто температура середовища є лінійна функція часу T з (t) = T 0 + bt. Теплообмін між поверхнями пластини і навколишнього середовища відбувається за законом Ньютона. Потрібно знайти розподіл температури по товщині кулі в будь-який момент часу, а також питома витрата тепла.
Також задані початкові і граничні умови, які описуються як:
T (r, 0) = T 0 = const,
В
В
Диференціальне рівняння теплопровідності для кулі може бути записано як:
В
2. Рішення завдання
Рішення завдання було отримано для двох матеріалів: сталь і гума. Основні теплофізичні характеристики речовин були зведені в таблицю (див. табл.1)
В
Таблиця 1
Матеріал
питома теплоємність, С (Дж/(кг * К))
щільність тіла, ПЃ (кг/м Ві)
коефіцієнт теплопровідності, О» (Вт/м * К)
Сталь
462
7900
45,4
Гума
1380
1200
0,16
Першим кроком у вирішенні завдання було знаходження коренів характеристичного рівняння:
В
На основі отриманих значень коренів характеристичного рівняння, для двох матеріалів побудована таблиця (табл.2). ​​
Таблиця 2
Матеріал
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Сталь
0
3.07
6.14
9.21
12.28
15.36
18.44
21.52
24.61
27.70
30.79
33.89
36.98
Гума
0
3.14
6.28
9.42
12.56
15.70
18.84
21.98
25.13
28.27
31.41
34.55
37.69
Знайшовши коріння характеристичного рівняння, можна знайти безрозмірну температуру і температуру тіла в будь-якій точці в будь-який момент часу:
В
В В
Так як в початковий момент часу, куля тільки починає прогріватися, то наведена вище формула дає великі похибки. Для зменшення похибки використовують формулу для знаходження безрозмірною температури для малих значень Фур'є:
В
Розрахункові формули мають наступний вигляд:
В
Визначаємо температуру на поверхні і в центрі кулі:
В
В
Рис. 1. Залежність між О? і Fo для поверхні (1) та центру (2) кулі (сталь).
В
Рис. 2 . Залежність між О? і Fo для поверхні (1) та центру (2) кулі (гума). p> За результатами р...
