Теорема Гаусса
Експериментально встановлені закон Кулона і принцип суперпозиції дозволяють повністю описати електростатичне поле заданої системи зарядів у вакуумі. Однак, властивості електростатичного поля можна виразити в іншій, більш загальної формі, не вдаючись до уявлення про кулонівському полі точкового заряду.
Введемо нову фізичну величину, що характеризує електричне поле - потік О¦ вектора напруженості електричного поля. Нехай у просторі, де створено електричне поле, розташована деяка досить мала площадка О”S. Твір модуля вектора на площа О”S і на косинус кута О± між вектором і нормаллю до майданчику називається елементарним потоком вектора напруженості через майданчик О”S (рис. 1.3.1):
О”О¦ = E О”S cos О± = E n О”S,
де E n - модуль нормальної складової поля
В
Малюнок 1.3.1.
До визначення елементарного потоку О”О¦
Розглянемо тепер деяку довільну замкнуту поверхню S. Якщо розбити цю поверхню на малі майданчики О”S i , визначити елементарні потоки О”О¦ i поля через ці малі майданчики, а потім їх підсумувати, то в результаті ми отримаємо потік О¦ вектора через замкнуту поверхню S (рис. 1.3.2):
В
У разі замкнутої поверхні завжди вибирається зовнішня нормаль.
В
Малюнок 1.3.2.
Обчислення потоку Ф через довільну замкнуту поверхню S
В
Теорема Гаусса стверджує:
Потік вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, розташованих усередині цієї поверхні, поділеній на електричну постійну Оµ 0 .
В
Для доказу розглянемо спочатку сферичну поверхню S, в центрі якої знаходиться точковий заряд q. Електричне поле в будь-якій точці сфери перпендикулярно до її поверхні і дорівнює за модулем
В
де R - радіус сфери. Потік О¦ через сферичну поверхню буде дорівнює добутку E на площа сфери 4ПЂR 2 . Отже,
Оточимо тепер точковий заряд довільній замкнутої поверхнею S і розглянемо допоміжну сферу радіуса R 0 (рис. 1.3.3).
В
Малюнок 1.3.3.
Потік електричного поля точкового заряду через довільну поверхню S, навколишнє заряд
Розглянемо конус з малим тілесним кутом О”О© при вершині. Цей конус виділить на сфері малу площадку О”S 0 , а на поверхні S - майданчик О”S. Елементарні потоки О”О¦ 0 і О”О¦ через ці майданчика однакові. Дійсно,
О”О¦ 0 = E 0 О”S 0 , О”О¦ = EО”S cos О± = EО”S '. br/>
Тут О”S '= О”S cos О± - майданчик, що виділяється конусом з тілесним кутом О”О© на поверхні сфери радіуса n.
Так як а отже Звідси випливає, що повний потік електричного поля точкового заряду через довільну поверхню, що охоплює заряд, дорівнює потоку О¦ 0 через поверхню допоміжної сфери:
В
Аналогічним чином можна показати, що, якщо замкнута поверхня S не охоплює точкового заряду q, то потік О¦ = 0. Такий випадок зображений на рис. 1.3.2. Всі силові лінії електричного поля точкового заряду пронизують замкнуту поверхню S наскрізь. Усередині поверхні S зарядів немає, тому в цій області силові лiнiї не обриваються і не зароджуються.
Узагальнення теореми Гауса на випадок довільного розподілу зарядів випливає з принципу суперпозиції. Поле будь-якого розподілу зарядів можна представити як векторну суму електричних полів точкових зарядів. Потік О¦ системи зарядів через довільну замкнуту поверхню S буде складатися з потоків О¦ i електричних полів окремих зарядів. Якщо заряд q i опинився всередині поверхні S, то він дає внесок в потік, рівний якщо ж цей заряд виявився зовні поверхні, то внесок його електричного поля в потік дорівнюватиме нулю.
Таким чином, теорема Гауса доведена.
Теорема Гаусса є наслідком закону Кулона та принципу суперпозиції. Але якщо прийняти твердження, що міститься в цій теоремі, за первинну аксіому, то її наслідком виявиться закон Кулона. Тому теорему Гауса іноді називають альтернативної формулюванням закону Кулона. p> Використовуючи теорему Гаусса, можна в ряді випадків легко обчислити напруженість електричного поля навколо зарядженого тіла, якщо заданий розподіл зарядів володіє небудь симетрією і загальну структуру поля можна заздалегідь вгадати.
Прикладом може служити завдання про обчислення поля тонкостінного полого однорідно зарядженого довгого циліндра радіуса R. Це завдання має осьову симетрію. З міркувань симетрії електричне поле повинно бути спрямоване по радіусу. Тому для застосування теореми Гауса доцільно вибрати замкнуту поверхню S у вигляді співісного циліндра деякого радіуса r і довжини l, закритого з обох торців (рис. 1.3.4).
В
Малюнок 1.3.4.
Обчислення поля однорідно зарядженого циліндра. OO '- вісь с...
