МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ
ОМСЬКИЙ ІНСТИТУТ (ФІЛІЯ) РОСІЙСЬКОГО
ДЕРЖАВНОГО ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
Контрольна робота з дисципліни В«МатематикаВ»
Варіант 6
Омськ, 2011 р.
ЗАВДАННЯ 1
рівняння матриця квадратичне відхилення
У декартовій прямокутній системі координат дано вершини піраміди А1В1С1D1. Знайдіть:
а) довжину ребра А1В1;
б) косинус кута між векторами;
в) рівняння ребра А1В1;
г) рівняння грані А1У1С1;
д) рівняння висоти, опущеної з вершини D1 на межу А1У1С1;
е) координати векторів,,, і доведіть, що вони утворюють лінійно незалежну систему;
ж) координати вектора, де - середини ребер А1D1 і В1С1, відповідно;
з) розкладання вектора по базису
якщо A1 (3, 0, -1), B1 (-1, -2, -4), C1 (-1, 2, 4), D1 (7, -3, 1).
Рішення.
а) знайдемо координати вектора за формулою:
= XВ-XА; Yв-yа; Zв-zА, де (ХА, yа, zА) - координати точки А1, (ХВ, Yв, Zв) - координати точки В1. p> Отже, =
Тоді =. p> Отже, довжина відрізка (або довжина вектора) дорівнює. Це і є шукана довжина ребра. p> б) координати вектора = вже відомі, залишилося визначити координати вектора: =.
Кут між векторами і обчислимо за формулою: =,
де скалярний добуток векторів іравно
(,) = (-4) '(-4) + (-2) '2 + (-3) '3 = 16 + (-4) + (-9) = 16-4-9 = 3 ,
=, =
Отже, cos ==.
в) координати точки А1 (3,0, -1) позначимо відповідно Х0 = 3, У0 = 0, Z0 = -1, а координати точки В1 (-1, -2, -4) через Х1 = -1 , У1 = -2, Z1 = -4 і скористаємося рівнянням прямої в просторі, що проходить через дві точки:
.
Отже, рівняння ребра А1В1 має вигляд
або
г) позначимо координати векторів і через Х1 = -4, У1 = -2, 1 = -3 і Х2 = -4, У2 = 2, 2 = 3, відповідно. Векторний добуток даних векторів визначається формулою
В
Оскільки даний вектор перпендикулярний грані А1 В1 С1, то можна скористатися рівнянням площини, що проходить через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору, яке має вигляд:
А. br/>
Підставимо координати точки А1 (Х0 = 3, У0 = 0, 0 = -1) і координати перпендикулярного вектора А = 0, В = 24, С = -16 в це рівняння:
(Х-3) +24 (У-0) -16 (+16) = 0. Розкриємо дужки і наведемо подібні члени 24Y-16Z-256 = 0. Отже, рівняння грані А1 В1 С1 має вигляд:
Y-16Z-256 = 0 або 3Y-2Z-32 = 0.
д) вектор є напрямним вектором висоти, опущеної з вершини D1 на межу А1У1С1. Скористаємося рівнянням прямої в просторі, що проходить через т...
