Федеральне агентство з освіти і науки
Пензенський Державний Університет
Кафедра Вищої і Прикладної математики
Курсовий проект
з дисципліни
В«Теорія наближення функційВ»
на тему
В«Теорема Котельникова і поперечники в середньомуВ»
Теоретична частина
В даний час всі радіоелектронні системи, включаючи системи телефонії, радіомовлення і телебачення, переходять на цифровий режим роботи. Тому перетворення різних аналогових сигналів для їх обробки в цифровій формі (проблема дискретизації) вимагає фундаментального математичного обгрунтування для всіляких класів детермінованих і випадкових сигналів з тим, щоб розробники таких систем могли впевнено користуватися цифровими сигналами та їх перетвореннями в різних радіоелектронних пристроях і компонентах.
Теорема відліків для цифрової обробки випадкових сигналів
Дискретизація детермінованих сигналів з обмеженою енергією відповідно до теореми Котельникова-Шеннона отримала в 1960-х роках тверду теоретичну базу, а також численні узагальнення на основі математичної теорії Гільбертових просторів з відтворюючими ядрами. Однак дискретизація випадкових сигналів, наприклад, мовних і телевізійних, досі не знайшла задовільного для прикладних цілей математичного обгрунтування, що призводить на практиці до неправомірного застосування теореми відліків і некоректним її інтерпретаціям при цифровій обробці сигналів. p align="justify"> Теорема відліків Котельникова-Шеннона і її узагальнення
Прикладна проблема дискретизації сигналів розвивалася значно пізніше, ніж математична проблема інтерполяції функцій. У результаті рішення останньої отримані інтерполяційні формули Ньютона, Стірлінга, Лагранжа, Гаусса, Бесселя, Еверетта, Стеффенса та ін О. Коші в 1841 р. і Е. Борель в 1897 р. розглядали інтерполяційні ряди виду:
(1)
Однак першим, хто усвідомив важливість подання (1) для прикладної математики і провів досить докладні дослідження властивостей ряду (1), був шотландський математик Едмунд Уїттекер.
Він показав, що якщо деяка невідома функція f (t) задана своїми еквідистантними отсчетами fn = f (a + n? t) в нескінченній сукупності точок (..., a-? t, a, a +? t, ...), то серед нескінченної кількості функцій, які можна провести через сукупність відліків (..., f-1, f0, f1, ...), існує функція, яка не має розривів другого роду (сингулярностей) і швидких осциляцій між відліковими точками. Таку функцію C (t) Уїттекер назвав основною, або кардинальної функцією (cardinal function):
(2)
де sinc x = (sin x)/x.
Наприклад, якщо a = 0 і fn = (-1) n, то
(3) ...
