При цьому формулу (3) не можна розглядати як застосування теореми відліків Котельникова-Шеннона до функції cos (2? Ft) при F = 1/(2? t), оскільки при a =? t/2: fn = cos [ ? (A + n? T) /? T] = cos [? (N +1/2)] = 0 для будь-якого значення n, і ряд (2) тотожно дорівнює нулю. Подальші властивості кардинальних функцій досліджував у 1925-1927 рр.. учень Уіттекера - У. Феррер.
Він виявив у кардинальних функцій чудова властивість В«самосогласованностіВ».
Теорема Котельникова-Шеннона
Нехай сигнал s (t) має обмеженим за частотою (фінітним) спектром:
при
Тоді сигнал s (t) може бути однозначно представлений у вигляді ряду Е. Уіттекера:
(4)
де sn = s (a + n? t) - відлік функції s (t) у точці tn = a + n? t; a - довільне дійсне число;? t = 1/Fд - інтервал дискретизації (Fд? 2Fm ). Функція sinc x = (sin x)/x в теорії сигналів називається функцією відліків, а ряд (6) у кожній точці t сходиться Среднеквадратическая.
При цьому
В
де ? m? 2 ? Fm, ? t? 1/(2Fm). Оскільки величину ? tн = 1/(2Fm) назвали інтервалом Найквіста, то в теоремі Котельникова-Шеннона інтервал дискретизації ? t повинен задовольняти нерівності ? t? ? tн.
Шеннон у фундаментальній статті наводить приклад В«білого шумуВ» з финитной спектральної щільністю потужності (W ? ( ? ) = N0? 2 ? Fm), що має в якості своїх реалізацій функції виду
В
де випадкові коефіцієнти an розподілені за законом Гауса і незалежно один від одного із середнім an = 0 і з дисперсією? n2 = N0. Однак узагальнення теореми відліків на випадкові процеси? (T) Шеннон не приводить. p align="justify"> Класифікація сигналів
Безперервні сигнали описуються безперервними функціями часу. Миттєві значення таких сигналів змінюються в часі плавно, без різких стрибків (розривів). Приклад тимчасової діаграми безперервного сигналу наведено на рис.5.2. Сигнали, тимчасові діаграми яких зображені на рис.5.1, не є безперервними, оскільки їх миттєві значення в деякі моменти часу змінюються стрибками. Багато реальні сигнали є безперервними. До таких можна віднести, наприклад, електричні сигнали при передачі мови, музики, багатьох зображень. br/>В
Рис. 5.1 Графік реалізації телегра...
