стану біля табору и при цьом цільовій функціонал дорівнює, (рис. 2).
В
Малюнок 2
Тоді існує кусково-неперервно Керування, Яку переводити систему Зі стану у стан и Значення цільового функціоналу при цьом дорівнює
.
Зауважімо, что подібна Операція Неможливо в класі неперервно Керування, ТОМУ ЩО в точках стику побудоване узагальнення Керування может мати точки розріву Першого роду.
3. Если функція, - оптімальне Керування, то фрагмент цієї Функції на будь-якому інтервалі,, такоже є оптимальним Керування.
4. Припустиме, - оптимальна Траєкторія, что відповідає Керування,,. Розглянемо довільній відрізок, и позначімо,. За таких розумів інтеграл на керуванні набуває найменшого Значення среди всех Припустиме Керування, что переводять систему Зі стану в стан.
3 Принцип максимуму Понтрягіна
Розглянемо задачу оптимального Керування (1), (3) - (5):
,, , br/>
,
,, ,, br/>
де, - Функції, неперервні за сукупністю всех змінніх и неперервно-діференційовані по змінніх.
Перейдемо до-вімірного простору, елементами Якого є Вектори
,
де - фазові вектор задачі, а - Деяка функція, что задовольняє співвідношенню
. (6)
Зх Останньоі формули віпліває, что функція є розв'язком рівняння
.
Прієднавші Останнє рівняння до системи (1), дістанемо нову систему
, (7)
де;
.
Підкреслімо, что праві Частини рівнянь системи (7) не залежався від. З формули (6) віпліває, что
,.
Таким чином, початкова завдання зведам до задачі Вибори Припустиме Керування, Яке здійснює Перехід точки в-вимірному просторі Зі стану біля найближче крапку на прямій, что паралельна осі, и проходити через точку (рис. 3). Поиск оптимального Керування тепер Полягає в мінімізації величину. Дійсно,
.
В
Малюнок 3
Складемо допоміжну систему
,, (8)
відносно невідоміх функцій. Ця система назівається відмінюванні системою до системи (7), а змінні - відмінюванні зміннімі.
Если - Припустиме процес, то відповідна цьом процеса система (8) є лінійною однорідною системою діференціальніх рівнянь Із відомімі кусково-неперервно коефіцієнтамі. Відомо, что за будь-яких початкових умов ця система має єдиний розв'язок.
Оскількі,, НЕ залежався від, то
,
и перше рівняння системи (8) можна спростіті:, Звідки віпліває, що.
Розглянемо функцію
, (9)
что назівається функцією Понтрягіна, де - вектор спряжених змінніх. Точною верхньою грань значень цієї Функції по змінній при фіксованіх и позначімо через
.
має місце наступна теорема.
Теорема 1 (принцип максимуму). Если Керування, и відповідна Йому фазові Траєкторія оптімальні,...
