Постановка завдання
Розглядається динамічна система:
,
де x - вектор фазового стану ДС, розмірності; u - вектор управління ДС, розмірності; А, В - матриці постійних коефіцієнтів системи, розмірності і відповідно.
В В В
Потрібно визначити оптимальну програму управління системою ДС, що забезпечує мінімум квадратичного критерію:
В
де - матриці вагових коефіцієнтів, що визначають значущості відповідних змінних.
Вихідні дані
В
програма управління динамічний рівняння
1. Аналітичне рішення
.1 Методика вирішення поставленого завдання
. Побудуємо функцію Гамільтона. Для змішаного критерію типу (2) функція Гамільтона має вигляд:
(4)
Тут - компонента сполученого вектора, відповідна фіксованою координаті.
Маючи на увазі, що - сonst за часом і в кінцевий момент часу функція Гамільтона (4) може бути переписана в наступному вигляді:
В
. У даному випадку Н.У. має приватний вигляд:
В
Оскільки прямих обмежень на управління в задачі не вводиться
В
Звідси випливає, що:
(5)
2. Рішення канонічної системи рівнянь. Необхідність у цьому рішенні виникає у зв'язку з необхідністю отримання сполученого вектора. br/>
(6)
Ця система замкнута (вона залежить сама від себе). Рішення отриманої крайової задачі для системи лінійних диференціальних рівнянь може бути отримано аналітично за допомогою перехідної (фундаментальної) матриці. p> Якщо ввести нові позначення:
В В
Тоді канонічна система (6) прийме вигляд:
(7)
. Використовуючи властивість фундаментальної матриці можна записати для системи (7) наступне рішення:
В
У розгорнутому вигляді можна записати:
В В
де,,, - відповідні блоки фундаментальної матриці.
Оскільки кінцеве умова сполученого вектора
В
можна записати наступне співвідношення:
В
З отриманого виразу можна визначити вектор станів сполучених змінних:
В
Тепер вектори і можуть бути поставлені в залежність тільки від початкового стану вектора. А саме:
В
де
В
Таким чином, відповідно до оптимальною структурою управління (5) можна отримати шукану програму оптимального керування у вигляді:
В
.2 Процедура вирішення поставленого завдання
. Складаємо матрицю розширеної системи. br/>В В В В В В
. Знаходимо власні числа матриці. br/>В В В
. Знаходимо власні вектора рішення для кожного отриманого r. br/>
r1:
В В В
r2:
В В
:
В В
:
В В В
. Визначаємо константи С.
<...
