Логічний Аналіз E-структур з допомогою графів
Використання графів і у-множин при логічному виведенні в E-структурах дозволяє не тільки спростити процес отримання наслідків, але і виконати інші методи логічного аналізу міркувань.
Перше, що зробимо - це представимо міркування у вигляді орієнтованого графа, в якому відношення включення між множинами представлені як дуги, що з'єднують відповідні літерали. При цьому будемо вважати, що дуги можуть бути будь довжини і необов'язково прямими. Розглянемо посилки з умовного прикладу:
1) CГЌ;
2) TГЌR;
3) ГЌ.
Далі візьмемо чистий аркуш паперу і випишемо на деякій відстані один від одного всі базові терміни нашого міркування. При цьому ми розташуємо терміни в двох рядках: у верхньому рядку будуть всі В«позитивніВ» терміни (C, S, T, R), а в нижній - всі В«НегативніВ» терміни (,,,). Крім того, альтернативні (тобто заперечують один одного) терміни (наприклад, S і) ми розташуємо строго на одній вертикалі. Потім з'єднаємо деякі терміни дугами у відповідності з нашими посилками. Тоді отримаємо орієнтований граф, за допомогою якого зображується вихідна завдання (малюнок 1).
В
Рис. 1 Рис. 2
Тепер для кожної посилки ми побудуємо нову дугу, яка буде зображувати наслідок, отримане за допомогою правила контрапозиции. Наш граф доповниться ще трьома дугами (малюнок 2). Правила малювання контрапозиции для нашої схеми вельми прості і відповідають деяким принципам симетрії. Сформулюємо ці правила:
1) якщо вихідна дуга з'єднує літерали в одному рядку, то її контрапозиции повинна з'єднувати протилежні літерали на іншому рядку, при цьому дуга повинна бути спрямована у бік, протилежний вихідної дузі. Наприклад, для дуги В® ми за цим правилом отримуємо нову дугу R В® S;
2) якщо вихідна дуга похила (тобто з'єднує різні рядки), то при побудові її контрапозиции ми з'єднуємо лінією протилежні літерали (наприклад, для дуги C В® треба з'єднати лінією літерали і S). Після цього треба вибрати таке напрям лінії (вгору або вниз), щоб цей напрямок збігалося з напрямком вихідної дуги. Наприклад, пара літералів на схемі з'єднується дугою S В®, так як в цьому випадку стрілка спрямована вниз, так само як і вихідна стрілка C В® на схемі.
Дуги зі строго вертикальним напрямком у нашому прикладі не з'являться. Забігаючи вперед, відзначимо, що такі дуги, якщо вони з'являються в процесі логічного висновку, говорять про те, що в нашому міркуванні міститься колізія парадоксу.
Тепер, коли отримані всі слідства за правилом контрапозиции, можна приступати до отримання нових наслідків за правилом транзитивності. Якщо використовувати схему, то цей процес істотно спрощується. Для цього треба просто побудувати всі шляхи, містяться в отриманому графі (малюнок 2). Спочатку треба вибрати літерали, з яких будуватимуться ці шляхи. Починати потрібно з мінімальних літералів, тобто з таких літералів на схемі, в які не входить жодна дуга. На схемі є два таких литерала: C і T. Побудувавши шляху з них, отримаємо
Шлях 1: C В® В® В®; Шлях 2: T В® R В® S В®. p> Виберемо -яку довільну вершину графа (наприклад, R) і виділимо ті вершини графа, які досяжні з R. Для нашого прикладу з вершини R досяжні вершини S і. p> Тепер, якщо ми зіставимо поняття досяжності з правилом транзитивності в наших правилах виводу, то прийдемо до наступного правила, що дозволяє отримувати на наших схемах нові слідства:
Якщо на схемі вершина Z досяжна з вершини Y, то зв'язок Y В® Z є або вихідною посилкою, або наслідком нашого міркування, отриманому за правилом транзитивності.
Подивившись тепер на малюнок 2, неважко переконатися, що всі слідства C4 - C9 можуть бути також отримані за допомогою правила досяжності. Ще простіше ці слідства можна отримати, якщо виписати в одній сходинці кожен з шляхів. Тоді транзитивні зв'язку і відповідно слідства отримані за правилом транзитивності можна отримати, якщо намалювати всі можливі стрілки, напрям яких збігається із загальним напрямом шляху (рис. 3). На цьому малюнку для наочності вихідні посилки позначені жирними стрілками. Всі інші стрілки позначають слідства.
В
Рис. 3
Отримання відразу всіх можливих наслідків з посилок вже вносить певний елемент новизни в традиційні системи логічного висновку. У Аристотелівською силогістиці всі правила призначені для отримання (або перевірки) єдиного висновку силогізму (слідства) з двох посилок. Єдине висновок також отримують при вирішенні системи з більшого числа посилок. Наприклад, у системі Л. Керролла єдиний висновок виходить навіть у тому випадку, якщо смітить складається з 9-ти посилок. p> Тепер познайомимося з ще одним основним поняттям E-структур. Ми будемо розглядати граф, який вийде, якщо в граф вихідної E-структури додати всі можливі слідства. Приклад такого графа зображений на малюнку...
